Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8565 / 5433
↖ ↑ ↗
← N 51.713416°
E  8.195801°		 ← 1 513.80 m → N 51.713416°
E  8.217773°		 →
↑
1 514.07 m
↓
↑
1 514.07 m
↓
N 51.699800°
E  8.195801°		 ← 1 514.26 m →
2 292 348 m²		 N 51.699800°
E  8.217773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8565 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5433 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522796630859375 y=0.331634521484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522796630859375 × 214)
    floor (0.522796630859375 × 16384)
    floor (8565.5)     		tx = 8565
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331634521484375 × 214)
    floor (0.331634521484375 × 16384)
    floor (5433.5)     		ty = 5433
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8565 / 5433 ti = "14/8565/5433"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8565/5433.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8565 ÷ 214
    8565 ÷ 16384     		x = 0.52276611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5433 ÷ 214
    5433 ÷ 16384     		y = 0.33160400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52276611328125 × 2 - 1) × π
    0.0455322265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.14304371
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33160400390625 × 2 - 1) × π
    0.3367919921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.05806324841388
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14304371} λ = 0.14304371}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05806324841388))-π/2
    2×atan(2.88078621558172)-π/2
    2×1.23668285217227-π/2
    2.47336570434453-1.57079632675     		φ = 0.90256938
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14304371} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.195801°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90256938 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.713416°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8565 KachelY 5433 0.14304371 0.90256938 8.195801 51.713416
    Oben rechts KachelX + 1 8566 KachelY 5433 0.14342720 0.90256938 8.217773 51.713416
    Unten links KachelX 8565 KachelY + 1 5434 0.14304371 0.90233173 8.195801 51.699800
    Unten rechts KachelX + 1 8566 KachelY + 1 5434 0.14342720 0.90233173 8.217773 51.699800
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90256938-0.90233173) × R
    0.000237649999999978 × 6371000     		dl = 1514.06814999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90256938-0.90233173) × R
    0.000237649999999978 × 6371000     		dr = 1514.06814999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14304371-0.14342720) × cos(0.90256938) × R
    0.000383490000000014 × 0.619595254145754 × 6371000     		do = 1513.80428874277m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14304371-0.14342720) × cos(0.90233173) × R
    0.000383490000000014 × 0.619781773235797 × 6371000     		du = 1514.25999494218m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90256938)-sin(0.90233173))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.619595254145754-0.619781773235797)×R²
    abs(0.14342720-0.14304371)×0.000186519090042858×R²
    0.000383490000000014×0.000186519090042858×6371000²
    0.000383490000000014×0.000186519090042858×40589641000000     		ar = 2292347.85482878m²