Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 8564 / 7866
↖ ↑ ↗
← N 79.502658°
W132.956543°		 ← 111.29 m → N 79.502658°
W132.951050°		 →
↑
111.30 m
↓
↑
111.30 m
↓
N 79.501657°
W132.956543°		 ← 111.30 m →
12 387 m²		 N 79.501657°
W132.951050°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8564 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7866 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.130683898925781 y=0.120033264160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.130683898925781 × 216)
    floor (0.130683898925781 × 65536)
    floor (8564.5)     		tx = 8564
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120033264160156 × 216)
    floor (0.120033264160156 × 65536)
    floor (7866.5)     		ty = 7866
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8564 / 7866 ti = "16/8564/7866"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8564/7866.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8564 ÷ 216
    8564 ÷ 65536     		x = 0.13067626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7866 ÷ 216
    7866 ÷ 65536     		y = 0.120025634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.13067626953125 × 2 - 1) × π
    -0.7386474609375 × 3.1415926535     		Λ = -2.32052944
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.120025634765625 × 2 - 1) × π
    0.75994873046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.38744934867728
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32052944} λ = -2.32052944}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38744934867728))-π/2
    2×atan(10.885692895742)-π/2
    2×1.47918973934568-π/2
    2.95837947869137-1.57079632675     		φ = 1.38758315
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32052944} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -132.956543°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38758315 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.502658°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8564 KachelY 7866 -2.32052944 1.38758315 -132.956543 79.502658
    Oben rechts KachelX + 1 8565 KachelY 7866 -2.32043356 1.38758315 -132.951050 79.502658
    Unten links KachelX 8564 KachelY + 1 7867 -2.32052944 1.38756568 -132.956543 79.501657
    Unten rechts KachelX + 1 8565 KachelY + 1 7867 -2.32043356 1.38756568 -132.951050 79.501657
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38758315-1.38756568) × R
    1.74699999999639e-05 × 6371000     		dl = 111.30136999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38758315-1.38756568) × R
    1.74699999999639e-05 × 6371000     		dr = 111.30136999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32052944--2.32043356) × cos(1.38758315) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.182189907514474 × 6371000     		do = 111.290974646206m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32052944--2.32043356) × cos(1.38756568) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.182207085097592 × 6371000     		du = 111.301467598277m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38758315)-sin(1.38756568))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182189907514474-0.182207085097592)×R²
    abs(-2.32043356--2.32052944)×1.71775831180887e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.71775831180887e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.71775831180887e-05×40589641000000     		ar = 12387.4218868616m²