Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8562 / 7891
↖ ↑ ↗
← N 79.477609°
W132.967529°		 ← 111.54 m → N 79.477609°
W132.962036°		 →
↑
111.56 m
↓
↑
111.56 m
↓
N 79.476606°
W132.967529°		 ← 111.55 m →
12 444 m²		 N 79.476606°
W132.962036°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8562 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7891 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.130653381347656 y=0.120414733886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.130653381347656 × 216)
    floor (0.130653381347656 × 65536)
    floor (8562.5)     		tx = 8562
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120414733886719 × 216)
    floor (0.120414733886719 × 65536)
    floor (7891.5)     		ty = 7891
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8562 / 7891 ti = "16/8562/7891"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8562/7891.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8562 ÷ 216
    8562 ÷ 65536     		x = 0.130645751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7891 ÷ 216
    7891 ÷ 65536     		y = 0.120407104492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.130645751953125 × 2 - 1) × π
    -0.73870849609375 × 3.1415926535     		Λ = -2.32072118
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.120407104492188 × 2 - 1) × π
    0.759185791015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.38505250369627
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32072118} λ = -2.32072118}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38505250369627))-π/2
    2×atan(10.859632820816)-π/2
    2×1.47897114138517-π/2
    2.95794228277034-1.57079632675     		φ = 1.38714596
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32072118} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -132.967529°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38714596 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.477609°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8562 KachelY 7891 -2.32072118 1.38714596 -132.967529 79.477609
    Oben rechts KachelX + 1 8563 KachelY 7891 -2.32062531 1.38714596 -132.962036 79.477609
    Unten links KachelX 8562 KachelY + 1 7892 -2.32072118 1.38712845 -132.967529 79.476606
    Unten rechts KachelX + 1 8563 KachelY + 1 7892 -2.32062531 1.38712845 -132.962036 79.476606
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38714596-1.38712845) × R
    1.75099999999428e-05 × 6371000     		dl = 111.556209999636m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38714596-1.38712845) × R
    1.75099999999428e-05 × 6371000     		dr = 111.556209999636m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32072118--2.32062531) × cos(1.38714596) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.182619762998247 × 6371000     		do = 111.541917799626m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32072118--2.32062531) × cos(1.38712845) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.182636978515362 × 6371000     		du = 111.552432826933m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38714596)-sin(1.38712845))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182619762998247-0.182636978515362)×R²
    abs(-2.32062531--2.32072118)×1.72155171141719e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.72155171141719e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.72155171141719e-05×40589641000000     		ar = 12443.7801144502m²