Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 8562 / 7868
↖ ↑ ↗
← N 79.500656°
W132.967529°		 ← 111.30 m → N 79.500656°
W132.962036°		 →
↑
111.30 m
↓
↑
111.30 m
↓
N 79.499655°
W132.967529°		 ← 111.31 m →
12 388 m²		 N 79.499655°
W132.962036°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8562 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7868 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.130653381347656 y=0.120063781738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.130653381347656 × 216)
    floor (0.130653381347656 × 65536)
    floor (8562.5)     		tx = 8562
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120063781738281 × 216)
    floor (0.120063781738281 × 65536)
    floor (7868.5)     		ty = 7868
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8562 / 7868 ti = "16/8562/7868"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8562/7868.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8562 ÷ 216
    8562 ÷ 65536     		x = 0.130645751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7868 ÷ 216
    7868 ÷ 65536     		y = 0.12005615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.130645751953125 × 2 - 1) × π
    -0.73870849609375 × 3.1415926535     		Λ = -2.32072118
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12005615234375 × 2 - 1) × π
    0.7598876953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.3872576010788
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32072118} λ = -2.32072118}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3872576010788))-π/2
    2×atan(10.8836057903766)-π/2
    2×1.47917227046052-π/2
    2.95834454092105-1.57079632675     		φ = 1.38754821
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32072118} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -132.967529°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38754821 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.500656°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8562 KachelY 7868 -2.32072118 1.38754821 -132.967529 79.500656
    Oben rechts KachelX + 1 8563 KachelY 7868 -2.32062531 1.38754821 -132.962036 79.500656
    Unten links KachelX 8562 KachelY + 1 7869 -2.32072118 1.38753074 -132.967529 79.499655
    Unten rechts KachelX + 1 8563 KachelY + 1 7869 -2.32062531 1.38753074 -132.962036 79.499655
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38754821-1.38753074) × R
    1.74699999999639e-05 × 6371000     		dl = 111.30136999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38754821-1.38753074) × R
    1.74699999999639e-05 × 6371000     		dr = 111.30136999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32072118--2.32062531) × cos(1.38754821) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.1822242626251 × 6371000     		do = 111.300351008677m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32072118--2.32062531) × cos(1.38753074) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.182241440096993 × 6371000     		du = 111.310842798429m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38754821)-sin(1.38753074))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.1822242626251-0.182241440096993)×R²
    abs(-2.32062531--2.32072118)×1.71774718933093e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.71774718933093e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.71774718933093e-05×40589641000000     		ar = 12388.4654245255m²