Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8561 / 7869
↖ ↑ ↗
← N 79.499655°
W132.973023°		 ← 111.32 m → N 79.499655°
W132.967529°		 →
↑
111.30 m
↓
↑
111.30 m
↓
N 79.498654°
W132.973023°		 ← 111.33 m →
12 391 m²		 N 79.498654°
W132.967529°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8561 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7869 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.130638122558594 y=0.120079040527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.130638122558594 × 216)
    floor (0.130638122558594 × 65536)
    floor (8561.5)     		tx = 8561
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120079040527344 × 216)
    floor (0.120079040527344 × 65536)
    floor (7869.5)     		ty = 7869
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8561 / 7869 ti = "16/8561/7869"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8561/7869.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8561 ÷ 216
    8561 ÷ 65536     		x = 0.130630493164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7869 ÷ 216
    7869 ÷ 65536     		y = 0.120071411132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.130630493164062 × 2 - 1) × π
    -0.738739013671875 × 3.1415926535     		Λ = -2.32081706
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.120071411132812 × 2 - 1) × π
    0.759857177734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.38716172727956
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32081706} λ = -2.32081706}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38716172727956))-π/2
    2×atan(10.8825623877583)-π/2
    2×1.47916353478279-π/2
    2.95832706956558-1.57079632675     		φ = 1.38753074
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32081706} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -132.973023°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38753074 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.499655°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8561 KachelY 7869 -2.32081706 1.38753074 -132.973023 79.499655
    Oben rechts KachelX + 1 8562 KachelY 7869 -2.32072118 1.38753074 -132.967529 79.499655
    Unten links KachelX 8561 KachelY + 1 7870 -2.32081706 1.38751327 -132.973023 79.498654
    Unten rechts KachelX + 1 8562 KachelY + 1 7870 -2.32072118 1.38751327 -132.967529 79.498654
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38753074-1.38751327) × R
    1.74700000001859e-05 × 6371000     		dl = 111.301370001185m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38753074-1.38751327) × R
    1.74700000001859e-05 × 6371000     		dr = 111.301370001185m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32081706--2.32072118) × cos(1.38753074) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.182241440096993 × 6371000     		do = 111.322453400507m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32081706--2.32072118) × cos(1.38751327) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.182258617513267 × 6371000     		du = 111.33294625066m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38753074)-sin(1.38751327))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182241440096993-0.182258617513267)×R²
    abs(-2.32072118--2.32081706)×1.71774162732452e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.71774162732452e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.71774162732452e-05×40589641000000     		ar = 12390.925510047m²