Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8559 / 8688
↖ ↑ ↗
← S 10.833306°
E  8.063965°		 ← 2 399.67 m → S 10.833306°
E  8.085937°		 →
↑
2 399.64 m
↓
↑
2 399.64 m
↓
S 10.854887°
E  8.063965°		 ← 2 399.50 m →
5 758 135 m²		 S 10.854887°
E  8.085937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8559 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8688 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522430419921875 y=0.530303955078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522430419921875 × 214)
    floor (0.522430419921875 × 16384)
    floor (8559.5)     		tx = 8559
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.530303955078125 × 214)
    floor (0.530303955078125 × 16384)
    floor (8688.5)     		ty = 8688
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8559 / 8688 ti = "14/8559/8688"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8559/8688.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8559 ÷ 214
    8559 ÷ 16384     		x = 0.52239990234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8688 ÷ 214
    8688 ÷ 16384     		y = 0.5302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52239990234375 × 2 - 1) × π
    0.0447998046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.14074274
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5302734375 × 2 - 1) × π
    -0.060546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.190213617692383
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14074274} λ = 0.14074274}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.190213617692383))-π/2
    2×atan(0.826782499708245)-π/2
    2×0.690859734254836-π/2
    1.38171946850967-1.57079632675     		φ = -0.18907686
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14074274} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.063965°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18907686 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.833306°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8559 KachelY 8688 0.14074274 -0.18907686 8.063965 -10.833306
    Oben rechts KachelX + 1 8560 KachelY 8688 0.14112623 -0.18907686 8.085937 -10.833306
    Unten links KachelX 8559 KachelY + 1 8689 0.14074274 -0.18945351 8.063965 -10.854887
    Unten rechts KachelX + 1 8560 KachelY + 1 8689 0.14112623 -0.18945351 8.085937 -10.854887
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18907686--0.18945351) × R
    0.000376649999999978 × 6371000     		dl = 2399.63714999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18907686--0.18945351) × R
    0.000376649999999978 × 6371000     		dr = 2399.63714999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14074274-0.14112623) × cos(-0.18907686) × R
    0.000383489999999986 × 0.982178159866999 × 6371000     		do = 2399.67220660195m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14074274-0.14112623) × cos(-0.18945351) × R
    0.000383489999999986 × 0.982107297971222 × 6371000     		du = 2399.49907577014m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18907686)-sin(-0.18945351))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.982178159866999-0.982107297971222)×R²
    abs(0.14112623-0.14074274)×7.08618957773188e-05×R²
    0.000383489999999986×7.08618957773188e-05×6371000²
    0.000383489999999986×7.08618957773188e-05×40589641000000     		ar = 5758134.91726958m²