Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8559 / 7859
↖ ↑ ↗
← N 79.509661°
W132.984009°		 ← 111.22 m → N 79.509661°
W132.978516°		 →
↑
111.17 m
↓
↑
111.17 m
↓
N 79.508662°
W132.984009°		 ← 111.23 m →
12 365 m²		 N 79.508662°
W132.978516°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8559 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7859 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.130607604980469 y=0.119926452636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.130607604980469 × 216)
    floor (0.130607604980469 × 65536)
    floor (8559.5)     		tx = 8559
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.119926452636719 × 216)
    floor (0.119926452636719 × 65536)
    floor (7859.5)     		ty = 7859
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8559 / 7859 ti = "16/8559/7859"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8559/7859.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8559 ÷ 216
    8559 ÷ 65536     		x = 0.130599975585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7859 ÷ 216
    7859 ÷ 65536     		y = 0.119918823242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.130599975585938 × 2 - 1) × π
    -0.738800048828125 × 3.1415926535     		Λ = -2.32100881
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.119918823242188 × 2 - 1) × π
    0.760162353515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.38812046527196
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32100881} λ = -2.32100881}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38812046527196))-π/2
    2×atan(10.8930009168818)-π/2
    2×1.47925085451337-π/2
    2.95850170902675-1.57079632675     		φ = 1.38770538
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32100881} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -132.984009°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38770538 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.509661°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8559 KachelY 7859 -2.32100881 1.38770538 -132.984009 79.509661
    Oben rechts KachelX + 1 8560 KachelY 7859 -2.32091293 1.38770538 -132.978516 79.509661
    Unten links KachelX 8559 KachelY + 1 7860 -2.32100881 1.38768793 -132.984009 79.508662
    Unten rechts KachelX + 1 8560 KachelY + 1 7860 -2.32091293 1.38768793 -132.978516 79.508662
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38770538-1.38768793) × R
    1.74500000000855e-05 × 6371000     		dl = 111.173950000544m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38770538-1.38768793) × R
    1.74500000000855e-05 × 6371000     		dr = 111.173950000544m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32100881--2.32091293) × cos(1.38770538) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.182069721873152 × 6371000     		do = 111.21755906933m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32100881--2.32091293) × cos(1.38768793) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.182086880179552 × 6371000     		du = 111.228040246189m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38770538)-sin(1.38768793))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182069721873152-0.182086880179552)×R²
    abs(-2.32091293--2.32100881)×1.71583064000336e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.71583064000336e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.71583064000336e-05×40589641000000     		ar = 12365.0779684252m²