Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8559 / 24721
↖ ↑ ↗
← N 40.375844°
W132.984009°		 ← 465.35 m → N 40.375844°
W132.978516°		 →
↑
465.34 m
↓
↑
465.34 m
↓
N 40.371659°
W132.984009°		 ← 465.38 m →
216 553 m²		 N 40.371659°
W132.978516°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8559 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24721 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.130607604980469 y=0.377220153808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.130607604980469 × 216)
    floor (0.130607604980469 × 65536)
    floor (8559.5)     		tx = 8559
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.377220153808594 × 216)
    floor (0.377220153808594 × 65536)
    floor (24721.5)     		ty = 24721
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8559 / 24721 ti = "16/8559/24721"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8559/24721.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8559 ÷ 216
    8559 ÷ 65536     		x = 0.130599975585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24721 ÷ 216
    24721 ÷ 65536     		y = 0.377212524414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.130599975585938 × 2 - 1) × π
    -0.738800048828125 × 3.1415926535     		Λ = -2.32100881
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.377212524414062 × 2 - 1) × π
    0.245574951171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.771496462485184
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32100881} λ = -2.32100881}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.771496462485184))-π/2
    2×atan(2.16300068245746)-π/2
    2×1.13774386947846-π/2
    2.27548773895691-1.57079632675     		φ = 0.70469141
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32100881} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -132.984009°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.70469141 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.375844°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8559 KachelY 24721 -2.32100881 0.70469141 -132.984009 40.375844
    Oben rechts KachelX + 1 8560 KachelY 24721 -2.32091293 0.70469141 -132.978516 40.375844
    Unten links KachelX 8559 KachelY + 1 24722 -2.32100881 0.70461837 -132.984009 40.371659
    Unten rechts KachelX + 1 8560 KachelY + 1 24722 -2.32091293 0.70461837 -132.978516 40.371659
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.70469141-0.70461837) × R
    7.30399999999687e-05 × 6371000     		dl = 465.337839999801m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.70469141-0.70461837) × R
    7.30399999999687e-05 × 6371000     		dr = 465.337839999801m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32100881--2.32091293) × cos(0.70469141) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.761811492255053 × 6371000     		do = 465.353677524702m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32100881--2.32091293) × cos(0.70461837) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.761858805445317 × 6371000     		du = 465.382578856999m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.70469141)-sin(0.70461837))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.761811492255053-0.761858805445317)×R²
    abs(-2.32091293--2.32100881)×4.73131902641866e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.73131902641866e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.73131902641866e-05×40589641000000     		ar = 216553.399673354m²