Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8558 / 8680
↖ ↑ ↗
← S 10.660608°
E  8.041992°		 ← 2 401.11 m → S 10.660608°
E  8.063965°		 →
↑
2 400.98 m
↓
↑
2 400.98 m
↓
S 10.682200°
E  8.041992°		 ← 2 400.94 m →
5 764 796 m²		 S 10.682200°
E  8.063965°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8558 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8680 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522369384765625 y=0.529815673828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522369384765625 × 214)
    floor (0.522369384765625 × 16384)
    floor (8558.5)     		tx = 8558
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.529815673828125 × 214)
    floor (0.529815673828125 × 16384)
    floor (8680.5)     		ty = 8680
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8558 / 8680 ti = "14/8558/8680"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8558/8680.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8558 ÷ 214
    8558 ÷ 16384     		x = 0.5223388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8680 ÷ 214
    8680 ÷ 16384     		y = 0.52978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5223388671875 × 2 - 1) × π
    0.044677734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.14035924
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52978515625 × 2 - 1) × π
    -0.0595703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.187145656116699
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.14035924} λ = 0.14035924}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.187145656116699))-π/2
    2×atan(0.829322931629931)-π/2
    2×0.692366808872553-π/2
    1.38473361774511-1.57079632675     		φ = -0.18606271
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.14035924} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.041992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18606271 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.660608°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8558 KachelY 8680 0.14035924 -0.18606271 8.041992 -10.660608
    Oben rechts KachelX + 1 8559 KachelY 8680 0.14074274 -0.18606271 8.063965 -10.660608
    Unten links KachelX 8558 KachelY + 1 8681 0.14035924 -0.18643957 8.041992 -10.682200
    Unten rechts KachelX + 1 8559 KachelY + 1 8681 0.14074274 -0.18643957 8.063965 -10.682200
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18606271--0.18643957) × R
    0.000376860000000007 × 6371000     		dl = 2400.97506000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18606271--0.18643957) × R
    0.000376860000000007 × 6371000     		dr = 2400.97506000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.14035924-0.14074274) × cos(-0.18606271) × R
    0.000383500000000009 × 0.982740213805655 × 6371000     		do = 2401.10803547682m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.14035924-0.14074274) × cos(-0.18643957) × R
    0.000383500000000009 × 0.982670428310837 × 6371000     		du = 2400.93753007771m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18606271)-sin(-0.18643957))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.982740213805655-0.982670428310837)×R²
    abs(0.14074274-0.14035924)×6.97854948185084e-05×R²
    0.000383500000000009×6.97854948185084e-05×6371000²
    0.000383500000000009×6.97854948185084e-05×40589641000000     		ar = 5764795.88816814m²