Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8557 / 9049
↖ ↑ ↗
← S 18.500447°
E  8.020020°		 ← 2 316.95 m → S 18.500447°
E  8.041992°		 →
↑
2 316.88 m
↓
↑
2 316.88 m
↓
S 18.521284°
E  8.020020°		 ← 2 316.67 m →
5 367 769 m²		 S 18.521284°
E  8.041992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8557 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9049 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522308349609375 y=0.552337646484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522308349609375 × 214)
    floor (0.522308349609375 × 16384)
    floor (8557.5)     		tx = 8557
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.552337646484375 × 214)
    floor (0.552337646484375 × 16384)
    floor (9049.5)     		ty = 9049
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8557 / 9049 ti = "14/8557/9049"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8557/9049.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8557 ÷ 214
    8557 ÷ 16384     		x = 0.52227783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9049 ÷ 214
    9049 ÷ 16384     		y = 0.55230712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52227783203125 × 2 - 1) × π
    0.0445556640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.13997575
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55230712890625 × 2 - 1) × π
    -0.1046142578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.328655383795105
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13997575} λ = 0.13997575}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.328655383795105))-π/2
    2×atan(0.719891060129816)-π/2
    2×0.623951302780599-π/2
    1.2479026055612-1.57079632675     		φ = -0.32289372
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13997575} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.020020°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32289372 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.500447°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8557 KachelY 9049 0.13997575 -0.32289372 8.020020 -18.500447
    Oben rechts KachelX + 1 8558 KachelY 9049 0.14035924 -0.32289372 8.041992 -18.500447
    Unten links KachelX 8557 KachelY + 1 9050 0.13997575 -0.32325738 8.020020 -18.521284
    Unten rechts KachelX + 1 8558 KachelY + 1 9050 0.14035924 -0.32325738 8.041992 -18.521284
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32289372--0.32325738) × R
    0.000363659999999988 × 6371000     		dl = 2316.87785999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32289372--0.32325738) × R
    0.000363659999999988 × 6371000     		dr = 2316.87785999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13997575-0.14035924) × cos(-0.32289372) × R
    0.000383489999999986 × 0.948321177541623 × 6371000     		do = 2316.95232663983m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13997575-0.14035924) × cos(-0.32325738) × R
    0.000383489999999986 × 0.948205721132895 × 6371000     		du = 2316.67024183442m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32289372)-sin(-0.32325738))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.948321177541623-0.948205721132895)×R²
    abs(0.14035924-0.13997575)×0.000115456408728454×R²
    0.000383489999999986×0.000115456408728454×6371000²
    0.000383489999999986×0.000115456408728454×40589641000000     		ar = 5367768.82940357m²