Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8556 / 24700
↖ ↑ ↗
← N 40.463666°
W133.000488°		 ← 464.75 m → N 40.463666°
W132.994995°		 →
↑
464.70 m
↓
↑
464.70 m
↓
N 40.459487°
W133.000488°		 ← 464.78 m →
215 975 m²		 N 40.459487°
W132.994995°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8556 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24700 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.130561828613281 y=0.376899719238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.130561828613281 × 216)
    floor (0.130561828613281 × 65536)
    floor (8556.5)     		tx = 8556
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.376899719238281 × 216)
    floor (0.376899719238281 × 65536)
    floor (24700.5)     		ty = 24700
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8556 / 24700 ti = "16/8556/24700"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8556/24700.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8556 ÷ 216
    8556 ÷ 65536     		x = 0.13055419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24700 ÷ 216
    24700 ÷ 65536     		y = 0.37689208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.13055419921875 × 2 - 1) × π
    -0.7388916015625 × 3.1415926535     		Λ = -2.32129643
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.37689208984375 × 2 - 1) × π
    0.2462158203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.773509812269226
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32129643} λ = -2.32129643}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.773509812269226))-π/2
    2×atan(2.16735994630328)-π/2
    2×1.13851026578524-π/2
    2.27702053157048-1.57079632675     		φ = 0.70622420
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32129643} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.000488°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.70622420 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.463666°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8556 KachelY 24700 -2.32129643 0.70622420 -133.000488 40.463666
    Oben rechts KachelX + 1 8557 KachelY 24700 -2.32120055 0.70622420 -132.994995 40.463666
    Unten links KachelX 8556 KachelY + 1 24701 -2.32129643 0.70615126 -133.000488 40.459487
    Unten rechts KachelX + 1 8557 KachelY + 1 24701 -2.32120055 0.70615126 -132.994995 40.459487
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.70622420-0.70615126) × R
    7.29400000000213e-05 × 6371000     		dl = 464.700740000136m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.70622420-0.70615126) × R
    7.29400000000213e-05 × 6371000     		dr = 464.700740000136m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32129643--2.32120055) × cos(0.70622420) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.760817658245638 × 6371000     		do = 464.746592549177m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32129643--2.32120055) × cos(0.70615126) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.760864991780512 × 6371000     		du = 464.775506309009m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.70622420)-sin(0.70615126))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.760817658245638-0.760864991780512)×R²
    abs(-2.32120055--2.32129643)×4.73335348736281e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.73335348736281e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.73335348736281e-05×40589641000000     		ar = 215974.803688649m²