Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 85554 / 96781
↖ ↑ ↗
← S 64.789338°
E 54.981079°		 ← 130.07 m → S 64.789338°
E 54.983825°		 →
↑
130.10 m
↓
↑
130.10 m
↓
S 64.790508°
E 54.981079°		 ← 130.06 m →
16 921 m²		 S 64.790508°
E 54.983825°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 85554 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96781 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.652729034423828 y=0.738384246826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.652729034423828 × 217)
    floor (0.652729034423828 × 131072)
    floor (85554.5)     		tx = 85554
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738384246826172 × 217)
    floor (0.738384246826172 × 131072)
    floor (96781.5)     		ty = 96781
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 85554 / 96781 ti = "17/85554/96781"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/85554/96781.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 85554 ÷ 217
    85554 ÷ 131072     		x = 0.652725219726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96781 ÷ 217
    96781 ÷ 131072     		y = 0.738380432128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.652725219726562 × 2 - 1) × π
    0.305450439453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.95960086
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.738380432128906 × 2 - 1) × π
    -0.476760864257812 × 3.1415926535     		Φ = -1.49778842862865
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.95960086} λ = 0.95960086}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49778842862865))-π/2
    2×atan(0.223624174495337)-π/2
    2×0.220004526615511-π/2
    0.440009053231021-1.57079632675     		φ = -1.13078727
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.95960086} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 54.981079°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13078727 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.789338°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 85554 KachelY 96781 0.95960086 -1.13078727 54.981079 -64.789338
    Oben rechts KachelX + 1 85555 KachelY 96781 0.95964879 -1.13078727 54.983825 -64.789338
    Unten links KachelX 85554 KachelY + 1 96782 0.95960086 -1.13080769 54.981079 -64.790508
    Unten rechts KachelX + 1 85555 KachelY + 1 96782 0.95964879 -1.13080769 54.983825 -64.790508
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13078727--1.13080769) × R
    2.0420000000021e-05 × 6371000     		dl = 130.095820000134m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13078727--1.13080769) × R
    2.0420000000021e-05 × 6371000     		dr = 130.095820000134m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.95960086-0.95964879) × cos(-1.13078727) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.425947659198777 × 6371000     		do = 130.068241886766m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.95960086-0.95964879) × cos(-1.13080769) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.425929184159784 × 6371000     		du = 130.062600311355m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13078727)-sin(-1.13080769))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.425947659198777-0.425929184159784)×R²
    abs(0.95964879-0.95960086)×1.84750389928823e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.84750389928823e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.84750389928823e-05×40589641000000     		ar = 16920.967612021m²