Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8555 / 8571
↖ ↑ ↗
← S  8.298470°
E  7.976074°		 ← 2 417.63 m → S  8.298470°
E  7.998047°		 →
↑
2 417.60 m
↓
↑
2 417.60 m
↓
S  8.320212°
E  7.976074°		 ← 2 417.50 m →
5 844 717 m²		 S  8.320212°
E  7.998047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8555 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8571 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522186279296875 y=0.523162841796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522186279296875 × 214)
    floor (0.522186279296875 × 16384)
    floor (8555.5)     		tx = 8555
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.523162841796875 × 214)
    floor (0.523162841796875 × 16384)
    floor (8571.5)     		ty = 8571
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8555 / 8571 ti = "14/8555/8571"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8555/8571.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8555 ÷ 214
    8555 ÷ 16384     		x = 0.52215576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8571 ÷ 214
    8571 ÷ 16384     		y = 0.52313232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52215576171875 × 2 - 1) × π
    0.0443115234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.13920876
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52313232421875 × 2 - 1) × π
    -0.0462646484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.14534467964801
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13920876} λ = 0.13920876}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.14534467964801))-π/2
    2×atan(0.864724188909408)-π/2
    2×0.712980348618115-π/2
    1.42596069723623-1.57079632675     		φ = -0.14483563
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13920876} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.976074°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14483563 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.298470°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8555 KachelY 8571 0.13920876 -0.14483563 7.976074 -8.298470
    Oben rechts KachelX + 1 8556 KachelY 8571 0.13959225 -0.14483563 7.998047 -8.298470
    Unten links KachelX 8555 KachelY + 1 8572 0.13920876 -0.14521510 7.976074 -8.320212
    Unten rechts KachelX + 1 8556 KachelY + 1 8572 0.13959225 -0.14521510 7.998047 -8.320212
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14483563--0.14521510) × R
    0.000379470000000021 × 6371000     		dl = 2417.60337000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14483563--0.14521510) × R
    0.000379470000000021 × 6371000     		dr = 2417.60337000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13920876-0.13959225) × cos(-0.14483563) × R
    0.000383490000000014 × 0.989529642725973 × 6371000     		do = 2417.6334582516m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13920876-0.13959225) × cos(-0.14521510) × R
    0.000383490000000014 × 0.989474802659769 × 6371000     		du = 2417.49947219077m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14483563)-sin(-0.14521510))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989529642725973-0.989474802659769)×R²
    abs(0.13959225-0.13920876)×5.48400662038206e-05×R²
    0.000383490000000014×5.48400662038206e-05×6371000²
    0.000383490000000014×5.48400662038206e-05×40589641000000     		ar = 5844716.90365342m²