Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8554 / 5431
↖ ↑ ↗
← N 51.740636°
E  7.954101°		 ← 1 512.93 m → N 51.740636°
E  7.976074°		 →
↑
1 513.18 m
↓
↑
1 513.18 m
↓
N 51.727028°
E  7.954101°		 ← 1 513.39 m →
2 289 678 m²		 N 51.727028°
E  7.976074°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8554 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5431 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522125244140625 y=0.331512451171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522125244140625 × 214)
    floor (0.522125244140625 × 16384)
    floor (8554.5)     		tx = 8554
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331512451171875 × 214)
    floor (0.331512451171875 × 16384)
    floor (5431.5)     		ty = 5431
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8554 / 5431 ti = "14/8554/5431"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8554/5431.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8554 ÷ 214
    8554 ÷ 16384     		x = 0.5220947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5431 ÷ 214
    5431 ÷ 16384     		y = 0.33148193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5220947265625 × 2 - 1) × π
    0.044189453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.13882526
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33148193359375 × 2 - 1) × π
    0.3370361328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.0588302388078
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13882526} λ = 0.13882526}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0588302388078))-π/2
    2×atan(2.88299659849888)-π/2
    2×1.23692039245806-π/2
    2.47384078491611-1.57079632675     		φ = 0.90304446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13882526} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.954101°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90304446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.740636°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8554 KachelY 5431 0.13882526 0.90304446 7.954101 51.740636
    Oben rechts KachelX + 1 8555 KachelY 5431 0.13920876 0.90304446 7.976074 51.740636
    Unten links KachelX 8554 KachelY + 1 5432 0.13882526 0.90280695 7.954101 51.727028
    Unten rechts KachelX + 1 8555 KachelY + 1 5432 0.13920876 0.90280695 7.976074 51.727028
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90304446-0.90280695) × R
    0.000237510000000052 × 6371000     		dl = 1513.17621000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90304446-0.90280695) × R
    0.000237510000000052 × 6371000     		dr = 1513.17621000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13882526-0.13920876) × cos(0.90304446) × R
    0.000383499999999981 × 0.619222283744068 × 6371000     		do = 1512.93249259271m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13882526-0.13920876) × cos(0.90280695) × R
    0.000383499999999981 × 0.619408762868 × 6371000     		du = 1513.38811302691m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90304446)-sin(0.90280695))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.619222283744068-0.619408762868)×R²
    abs(0.13920876-0.13882526)×0.000186479123931771×R²
    0.000383499999999981×0.000186479123931771×6371000²
    0.000383499999999981×0.000186479123931771×40589641000000     		ar = 2289678.18289227m²