Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 85538 / 96801
↖ ↑ ↗
← S 64.812726°
E 54.937134°		 ← 129.96 m → S 64.812726°
E 54.939880°		 →
↑
129.97 m
↓
↑
129.97 m
↓
S 64.813895°
E 54.937134°		 ← 129.95 m →
16 890 m²		 S 64.813895°
E 54.939880°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 85538 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96801 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.652606964111328 y=0.738536834716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.652606964111328 × 217)
    floor (0.652606964111328 × 131072)
    floor (85538.5)     		tx = 85538
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738536834716797 × 217)
    floor (0.738536834716797 × 131072)
    floor (96801.5)     		ty = 96801
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 85538 / 96801 ti = "17/85538/96801"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/85538/96801.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 85538 ÷ 217
    85538 ÷ 131072     		x = 0.652603149414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96801 ÷ 217
    96801 ÷ 131072     		y = 0.738533020019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.652603149414062 × 2 - 1) × π
    0.305206298828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.95883387
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.738533020019531 × 2 - 1) × π
    -0.477066040039062 × 3.1415926535     		Φ = -1.49874716662106
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.95883387} λ = 0.95883387}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49874716662106))-π/2
    2×atan(0.223409880245663)-π/2
    2×0.219800429052457-π/2
    0.439600858104913-1.57079632675     		φ = -1.13119547
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.95883387} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 54.937134°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13119547 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.812726°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 85538 KachelY 96801 0.95883387 -1.13119547 54.937134 -64.812726
    Oben rechts KachelX + 1 85539 KachelY 96801 0.95888180 -1.13119547 54.939880 -64.812726
    Unten links KachelX 85538 KachelY + 1 96802 0.95883387 -1.13121587 54.937134 -64.813895
    Unten rechts KachelX + 1 85539 KachelY + 1 96802 0.95888180 -1.13121587 54.939880 -64.813895
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13119547--1.13121587) × R
    2.03999999999205e-05 × 6371000     		dl = 129.968399999493m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13119547--1.13121587) × R
    2.03999999999205e-05 × 6371000     		dr = 129.968399999493m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.95883387-0.95888180) × cos(-1.13119547) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.425578305667572 × 6371000     		do = 129.95545534269m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.95883387-0.95888180) × cos(-1.13121587) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.425559845178339 × 6371000     		du = 129.949818210223m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13119547)-sin(-1.13121587))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.425578305667572-0.425559845178339)×R²
    abs(0.95888180-0.95883387)×1.84604892335405e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.84604892335405e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.84604892335405e-05×40589641000000     		ar = 16889.7362781776m²