Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 85537 / 96796
↖ ↑ ↗
← S 64.806881°
E 54.934387°		 ← 130.01 m → S 64.806881°
E 54.937134°		 →
↑
130.03 m
↓
↑
130.03 m
↓
S 64.808050°
E 54.934387°		 ← 130.01 m →
16 905 m²		 S 64.808050°
E 54.937134°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 85537 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96796 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.652599334716797 y=0.738498687744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.652599334716797 × 217)
    floor (0.652599334716797 × 131072)
    floor (85537.5)     		tx = 85537
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738498687744141 × 217)
    floor (0.738498687744141 × 131072)
    floor (96796.5)     		ty = 96796
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 85537 / 96796 ti = "17/85537/96796"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/85537/96796.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 85537 ÷ 217
    85537 ÷ 131072     		x = 0.652595520019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96796 ÷ 217
    96796 ÷ 131072     		y = 0.738494873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.652595520019531 × 2 - 1) × π
    0.305191040039062 × 3.1415926535     		Λ = 0.95878593
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.738494873046875 × 2 - 1) × π
    -0.47698974609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.49850748212296
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.95878593} λ = 0.95878593}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49850748212296))-π/2
    2×atan(0.223463434548492)-π/2
    2×0.219851436845293-π/2
    0.439702873690587-1.57079632675     		φ = -1.13109345
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.95878593} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 54.934387°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13109345 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.806881°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 85537 KachelY 96796 0.95878593 -1.13109345 54.934387 -64.806881
    Oben rechts KachelX + 1 85538 KachelY 96796 0.95883387 -1.13109345 54.937134 -64.806881
    Unten links KachelX 85537 KachelY + 1 96797 0.95878593 -1.13111386 54.934387 -64.808050
    Unten rechts KachelX + 1 85538 KachelY + 1 96797 0.95883387 -1.13111386 54.937134 -64.808050
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13109345--1.13111386) × R
    2.04099999998597e-05 × 6371000     		dl = 130.032109999106m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13109345--1.13111386) × R
    2.04099999998597e-05 × 6371000     		dr = 130.032109999106m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.95878593-0.95883387) × cos(-1.13109345) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.42567062355452 × 6371000     		do = 130.010765195316m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.95878593-0.95883387) × cos(-1.13111386) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.425652154902212 × 6371000     		du = 130.005124393517m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13109345)-sin(-1.13111386))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.42567062355452-0.425652154902212)×R²
    abs(0.95883387-0.95878593)×1.84686523083122e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.84686523083122e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.84686523083122e-05×40589641000000     		ar = 16905.2073787692m²