Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 85535 / 96798
↖ ↑ ↗
← S 64.809219°
E 54.928894°		 ← 129.97 m → S 64.809219°
E 54.931640°		 →
↑
130.03 m
↓
↑
130.03 m
↓
S 64.810389°
E 54.928894°		 ← 129.97 m →
16 900 m²		 S 64.810389°
E 54.931640°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 85535 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96798 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.652584075927734 y=0.738513946533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.652584075927734 × 217)
    floor (0.652584075927734 × 131072)
    floor (85535.5)     		tx = 85535
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738513946533203 × 217)
    floor (0.738513946533203 × 131072)
    floor (96798.5)     		ty = 96798
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 85535 / 96798 ti = "17/85535/96798"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/85535/96798.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 85535 ÷ 217
    85535 ÷ 131072     		x = 0.652580261230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96798 ÷ 217
    96798 ÷ 131072     		y = 0.738510131835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.652580261230469 × 2 - 1) × π
    0.305160522460938 × 3.1415926535     		Λ = 0.95869006
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.738510131835938 × 2 - 1) × π
    -0.477020263671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.4986033559222
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.95869006} λ = 0.95869006}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4986033559222))-π/2
    2×atan(0.223442011287012)-π/2
    2×0.219831032400579-π/2
    0.439662064801157-1.57079632675     		φ = -1.13113426
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.95869006} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 54.928894°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13113426 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.809219°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 85535 KachelY 96798 0.95869006 -1.13113426 54.928894 -64.809219
    Oben rechts KachelX + 1 85536 KachelY 96798 0.95873799 -1.13113426 54.931640 -64.809219
    Unten links KachelX 85535 KachelY + 1 96799 0.95869006 -1.13115467 54.928894 -64.810389
    Unten rechts KachelX + 1 85536 KachelY + 1 96799 0.95873799 -1.13115467 54.931640 -64.810389
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13113426--1.13115467) × R
    2.04099999998597e-05 × 6371000     		dl = 130.032109999106m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13113426--1.13115467) × R
    2.04099999998597e-05 × 6371000     		dr = 130.032109999106m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.95869006-0.95873799) × cos(-1.13113426) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.425633695121546 × 6371000     		do = 129.972369178796m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.95869006-0.95873799) × cos(-1.13115467) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.425615226114706 × 6371000     		du = 129.966729445375m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13113426)-sin(-1.13115467))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.425633695121546-0.425615226114706)×R²
    abs(0.95873799-0.95869006)×1.84690068399385e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.84690068399385e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.84690068399385e-05×40589641000000     		ar = 16900.2147330978m²