Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8553 / 9079
↖ ↑ ↗
← S 19.124409°
E  7.932129°		 ← 2 308.37 m → S 19.124409°
E  7.954101°		 →
↑
2 308.28 m
↓
↑
2 308.28 m
↓
S 19.145168°
E  7.932129°		 ← 2 308.08 m →
5 328 028 m²		 S 19.145168°
E  7.954101°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8553 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9079 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.522064208984375 y=0.554168701171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.522064208984375 × 214)
    floor (0.522064208984375 × 16384)
    floor (8553.5)     		tx = 8553
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.554168701171875 × 214)
    floor (0.554168701171875 × 16384)
    floor (9079.5)     		ty = 9079
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8553 / 9079 ti = "14/8553/9079"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8553/9079.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8553 ÷ 214
    8553 ÷ 16384     		x = 0.52203369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9079 ÷ 214
    9079 ÷ 16384     		y = 0.55413818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52203369140625 × 2 - 1) × π
    0.0440673828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.13844177
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55413818359375 × 2 - 1) × π
    -0.1082763671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.340160239703918
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13844177} λ = 0.13844177}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.340160239703918))-π/2
    2×atan(0.711656278034323)-π/2
    2×0.618506206519613-π/2
    1.23701241303923-1.57079632675     		φ = -0.33378391
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13844177} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.932129°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33378391 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.124409°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8553 KachelY 9079 0.13844177 -0.33378391 7.932129 -19.124409
    Oben rechts KachelX + 1 8554 KachelY 9079 0.13882526 -0.33378391 7.954101 -19.124409
    Unten links KachelX 8553 KachelY + 1 9080 0.13844177 -0.33414622 7.932129 -19.145168
    Unten rechts KachelX + 1 8554 KachelY + 1 9080 0.13882526 -0.33414622 7.954101 -19.145168
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33378391--0.33414622) × R
    0.000362309999999977 × 6371000     		dl = 2308.27700999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33378391--0.33414622) × R
    0.000362309999999977 × 6371000     		dr = 2308.27700999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13844177-0.13882526) × cos(-0.33378391) × R
    0.000383490000000014 × 0.94480942410163 × 6371000     		do = 2308.37235869657m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13844177-0.13882526) × cos(-0.33414622) × R
    0.000383490000000014 × 0.944690661931055 × 6371000     		du = 2308.08219720493m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33378391)-sin(-0.33414622))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94480942410163-0.944690661931055)×R²
    abs(0.13882526-0.13844177)×0.000118762170574715×R²
    0.000383490000000014×0.000118762170574715×6371000²
    0.000383490000000014×0.000118762170574715×40589641000000     		ar = 5328028.01783194m²