Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8553 / 7083
↖ ↑ ↗
← N 80.258039°
W133.016968°		 ← 103.36 m → N 80.258039°
W133.011474°		 →
↑
103.34 m
↓
↑
103.34 m
↓
N 80.257110°
W133.016968°		 ← 103.37 m →
10 682 m²		 N 80.257110°
W133.011474°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8553 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7083 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.130516052246094 y=0.108085632324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.130516052246094 × 216)
    floor (0.130516052246094 × 65536)
    floor (8553.5)     		tx = 8553
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.108085632324219 × 216)
    floor (0.108085632324219 × 65536)
    floor (7083.5)     		ty = 7083
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8553 / 7083 ti = "16/8553/7083"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8553/7083.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8553 ÷ 216
    8553 ÷ 65536     		x = 0.130508422851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7083 ÷ 216
    7083 ÷ 65536     		y = 0.108078002929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.130508422851562 × 2 - 1) × π
    -0.738983154296875 × 3.1415926535     		Λ = -2.32158405
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.108078002929688 × 2 - 1) × π
    0.783843994140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.46251853348228
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32158405} λ = -2.32158405}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46251853348228))-π/2
    2×atan(11.7343276528056)-π/2
    2×1.48578168388277-π/2
    2.97156336776554-1.57079632675     		φ = 1.40076704
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32158405} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.016968°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40076704 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.258039°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8553 KachelY 7083 -2.32158405 1.40076704 -133.016968 80.258039
    Oben rechts KachelX + 1 8554 KachelY 7083 -2.32148817 1.40076704 -133.011474 80.258039
    Unten links KachelX 8553 KachelY + 1 7084 -2.32158405 1.40075082 -133.016968 80.257110
    Unten rechts KachelX + 1 8554 KachelY + 1 7084 -2.32148817 1.40075082 -133.011474 80.257110
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40076704-1.40075082) × R
    1.62200000000112e-05 × 6371000     		dl = 103.337620000072m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40076704-1.40075082) × R
    1.62200000000112e-05 × 6371000     		dr = 103.337620000072m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32158405--2.32148817) × cos(1.40076704) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.169211213613358 × 6371000     		do = 103.362920268248m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32158405--2.32148817) × cos(1.40075082) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.169227199695644 × 6371000     		du = 103.372685390272m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40076704)-sin(1.40075082))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169211213613358-0.169227199695644)×R²
    abs(-2.32148817--2.32158405)×1.59860822859792e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.59860822859792e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.59860822859792e-05×40589641000000     		ar = 10681.7827295602m²