Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 85529 / 96789
↖ ↑ ↗
← S 64.798696°
E 54.912414°		 ← 130.05 m → S 64.798696°
E 54.915161°		 →
↑
130.10 m
↓
↑
130.10 m
↓
S 64.799866°
E 54.912414°		 ← 130.04 m →
16 919 m²		 S 64.799866°
E 54.915161°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 85529 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96789 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.652538299560547 y=0.738445281982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.652538299560547 × 217)
    floor (0.652538299560547 × 131072)
    floor (85529.5)     		tx = 85529
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738445281982422 × 217)
    floor (0.738445281982422 × 131072)
    floor (96789.5)     		ty = 96789
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 85529 / 96789 ti = "17/85529/96789"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/85529/96789.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 85529 ÷ 217
    85529 ÷ 131072     		x = 0.652534484863281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96789 ÷ 217
    96789 ÷ 131072     		y = 0.738441467285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.652534484863281 × 2 - 1) × π
    0.305068969726562 × 3.1415926535     		Λ = 0.95840243
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.738441467285156 × 2 - 1) × π
    -0.476882934570312 × 3.1415926535     		Φ = -1.49817192382562
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.95840243} λ = 0.95840243}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49817192382562))-π/2
    2×atan(0.223538432140435)-π/2
    2×0.219922866343268-π/2
    0.439845732686537-1.57079632675     		φ = -1.13095059
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.95840243} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 54.912414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13095059 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.798696°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 85529 KachelY 96789 0.95840243 -1.13095059 54.912414 -64.798696
    Oben rechts KachelX + 1 85530 KachelY 96789 0.95845037 -1.13095059 54.915161 -64.798696
    Unten links KachelX 85529 KachelY + 1 96790 0.95840243 -1.13097101 54.912414 -64.799866
    Unten rechts KachelX + 1 85530 KachelY + 1 96790 0.95845037 -1.13097101 54.915161 -64.799866
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13095059--1.13097101) × R
    2.0420000000021e-05 × 6371000     		dl = 130.095820000134m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13095059--1.13097101) × R
    2.0420000000021e-05 × 6371000     		dr = 130.095820000134m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.95840243-0.95845037) × cos(-1.13095059) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.425799890107092 × 6371000     		do = 130.050246527792m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.95840243-0.95845037) × cos(-1.13097101) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.425781413647844 × 6371000     		du = 130.044603341553m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13095059)-sin(-1.13097101))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.425799890107092-0.425781413647844)×R²
    abs(0.95845037-0.95840243)×1.84764592487396e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.84764592487396e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.84764592487396e-05×40589641000000     		ar = 16918.6263861795m²