Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 85528 / 96786
↖ ↑ ↗
← S 64.795187°
E 54.909668°		 ← 130.04 m → S 64.795187°
E 54.912414°		 →
↑
130.03 m
↓
↑
130.03 m
↓
S 64.796357°
E 54.909668°		 ← 130.03 m →
16 909 m²		 S 64.796357°
E 54.912414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 85528 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96786 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.652530670166016 y=0.738422393798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.652530670166016 × 217)
    floor (0.652530670166016 × 131072)
    floor (85528.5)     		tx = 85528
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738422393798828 × 217)
    floor (0.738422393798828 × 131072)
    floor (96786.5)     		ty = 96786
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 85528 / 96786 ti = "17/85528/96786"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/85528/96786.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 85528 ÷ 217
    85528 ÷ 131072     		x = 0.65252685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96786 ÷ 217
    96786 ÷ 131072     		y = 0.738418579101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.65252685546875 × 2 - 1) × π
    0.3050537109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.95835450
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.738418579101562 × 2 - 1) × π
    -0.476837158203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.49802811312675
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.95835450} λ = 0.95835450}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49802811312675))-π/2
    2×atan(0.223570581670251)-π/2
    2×0.219953485624952-π/2
    0.439906971249904-1.57079632675     		φ = -1.13088936
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.95835450} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 54.909668°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13088936 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.795187°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 85528 KachelY 96786 0.95835450 -1.13088936 54.909668 -64.795187
    Oben rechts KachelX + 1 85529 KachelY 96786 0.95840243 -1.13088936 54.912414 -64.795187
    Unten links KachelX 85528 KachelY + 1 96787 0.95835450 -1.13090977 54.909668 -64.796357
    Unten rechts KachelX + 1 85529 KachelY + 1 96787 0.95840243 -1.13090977 54.912414 -64.796357
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13088936--1.13090977) × R
    2.04099999998597e-05 × 6371000     		dl = 130.032109999106m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13088936--1.13090977) × R
    2.04099999998597e-05 × 6371000     		dr = 130.032109999106m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.95835450-0.95840243) × cos(-1.13088936) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.425855291275778 × 6371000     		do = 130.040036230293m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.95835450-0.95840243) × cos(-1.13090977) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.425836824396937 × 6371000     		du = 130.034397146682m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13088936)-sin(-1.13090977))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.425855291275778-0.425836824396937)×R²
    abs(0.95840243-0.95835450)×1.84668788409947e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.84668788409947e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.84668788409947e-05×40589641000000     		ar = 16909.0136648726m²