Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8551 / 8697
↖ ↑ ↗
← S 11.027472°
E  7.888184°		 ← 2 398.10 m → S 11.027472°
E  7.910156°		 →
↑
2 398.04 m
↓
↑
2 398.04 m
↓
S 11.049038°
E  7.888184°		 ← 2 397.93 m →
5 750 545 m²		 S 11.049038°
E  7.910156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8551 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8697 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521942138671875 y=0.530853271484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521942138671875 × 214)
    floor (0.521942138671875 × 16384)
    floor (8551.5)     		tx = 8551
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.530853271484375 × 214)
    floor (0.530853271484375 × 16384)
    floor (8697.5)     		ty = 8697
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8551 / 8697 ti = "14/8551/8697"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8551/8697.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8551 ÷ 214
    8551 ÷ 16384     		x = 0.52191162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8697 ÷ 214
    8697 ÷ 16384     		y = 0.53082275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52191162109375 × 2 - 1) × π
    0.0438232421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.13767478
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.53082275390625 × 2 - 1) × π
    -0.0616455078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.193665074465027
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13767478} λ = 0.13767478}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.193665074465027))-π/2
    2×atan(0.823933814534916)-π/2
    2×0.689165314420424-π/2
    1.37833062884085-1.57079632675     		φ = -0.19246570
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13767478} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.888184°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19246570 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.027472°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8551 KachelY 8697 0.13767478 -0.19246570 7.888184 -11.027472
    Oben rechts KachelX + 1 8552 KachelY 8697 0.13805827 -0.19246570 7.910156 -11.027472
    Unten links KachelX 8551 KachelY + 1 8698 0.13767478 -0.19284210 7.888184 -11.049038
    Unten rechts KachelX + 1 8552 KachelY + 1 8698 0.13805827 -0.19284210 7.910156 -11.049038
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19246570--0.19284210) × R
    0.000376399999999999 × 6371000     		dl = 2398.04439999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19246570--0.19284210) × R
    0.000376399999999999 × 6371000     		dr = 2398.04439999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13767478-0.13805827) × cos(-0.19246570) × R
    0.000383490000000014 × 0.981535581079262 × 6371000     		do = 2398.10224860418m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13767478-0.13805827) × cos(-0.19284210) × R
    0.000383490000000014 × 0.98146351389162 × 6371000     		du = 2397.92617298546m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19246570)-sin(-0.19284210))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.981535581079262-0.98146351389162)×R²
    abs(0.13805827-0.13767478)×7.20671876419665e-05×R²
    0.000383490000000014×7.20671876419665e-05×6371000²
    0.000383490000000014×7.20671876419665e-05×40589641000000     		ar = 5750544.61721004m²