Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8551 / 24715
↖ ↑ ↗
← N 40.400948°
W133.027954°		 ← 465.18 m → N 40.400948°
W133.022461°		 →
↑
465.21 m
↓
↑
465.21 m
↓
N 40.396764°
W133.027954°		 ← 465.21 m →
216 413 m²		 N 40.396764°
W133.022461°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8551 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24715 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.130485534667969 y=0.377128601074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.130485534667969 × 216)
    floor (0.130485534667969 × 65536)
    floor (8551.5)     		tx = 8551
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.377128601074219 × 216)
    floor (0.377128601074219 × 65536)
    floor (24715.5)     		ty = 24715
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8551 / 24715 ti = "16/8551/24715"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8551/24715.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8551 ÷ 216
    8551 ÷ 65536     		x = 0.130477905273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24715 ÷ 216
    24715 ÷ 65536     		y = 0.377120971679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.130477905273438 × 2 - 1) × π
    -0.739044189453125 × 3.1415926535     		Λ = -2.32177580
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.377120971679688 × 2 - 1) × π
    0.245758056640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.772071705280624
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32177580} λ = -2.32177580}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.772071705280624))-π/2
    2×atan(2.16424529095829)-π/2
    2×1.13796294193696-π/2
    2.27592588387391-1.57079632675     		φ = 0.70512956
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32177580} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.027954°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.70512956 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.400948°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8551 KachelY 24715 -2.32177580 0.70512956 -133.027954 40.400948
    Oben rechts KachelX + 1 8552 KachelY 24715 -2.32167992 0.70512956 -133.022461 40.400948
    Unten links KachelX 8551 KachelY + 1 24716 -2.32177580 0.70505654 -133.027954 40.396764
    Unten rechts KachelX + 1 8552 KachelY + 1 24716 -2.32167992 0.70505654 -133.022461 40.396764
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.70512956-0.70505654) × R
    7.30200000000902e-05 × 6371000     		dl = 465.210420000575m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.70512956-0.70505654) × R
    7.30200000000902e-05 × 6371000     		dr = 465.210420000575m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32177580--2.32167992) × cos(0.70512956) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.761527586107215 × 6371000     		do = 465.180253036269m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32177580--2.32167992) × cos(0.70505654) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.76157491071201 × 6371000     		du = 465.209161341149m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.70512956)-sin(0.70505654))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.761527586107215-0.76157491071201)×R²
    abs(-2.32167992--2.32177580)×4.73246047953957e-05×R²
    9.58800000003812e-05×4.73246047953957e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×4.73246047953957e-05×40589641000000     		ar = 216413.425209103m²