Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 85507 / 96771
↖ ↑ ↗
← S 64.777637°
E 54.851990°		 ← 130.15 m → S 64.777637°
E 54.854736°		 →
↑
130.16 m
↓
↑
130.16 m
↓
S 64.778807°
E 54.851990°		 ← 130.15 m →
16 940 m²		 S 64.778807°
E 54.854736°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 85507 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96771 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.652370452880859 y=0.738307952880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.652370452880859 × 217)
    floor (0.652370452880859 × 131072)
    floor (85507.5)     		tx = 85507
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738307952880859 × 217)
    floor (0.738307952880859 × 131072)
    floor (96771.5)     		ty = 96771
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 85507 / 96771 ti = "17/85507/96771"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/85507/96771.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 85507 ÷ 217
    85507 ÷ 131072     		x = 0.652366638183594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96771 ÷ 217
    96771 ÷ 131072     		y = 0.738304138183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.652366638183594 × 2 - 1) × π
    0.304733276367188 × 3.1415926535     		Λ = 0.95734782
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.738304138183594 × 2 - 1) × π
    -0.476608276367188 × 3.1415926535     		Φ = -1.49730905963245
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.95734782} λ = 0.95734782}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49730905963245))-π/2
    2×atan(0.223731398689315)-π/2
    2×0.22010664180743-π/2
    0.44021328361486-1.57079632675     		φ = -1.13058304
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.95734782} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 54.851990°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13058304 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.777637°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 85507 KachelY 96771 0.95734782 -1.13058304 54.851990 -64.777637
    Oben rechts KachelX + 1 85508 KachelY 96771 0.95739576 -1.13058304 54.854736 -64.777637
    Unten links KachelX 85507 KachelY + 1 96772 0.95734782 -1.13060347 54.851990 -64.778807
    Unten rechts KachelX + 1 85508 KachelY + 1 96772 0.95739576 -1.13060347 54.854736 -64.778807
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13058304--1.13060347) × R
    2.04299999999602e-05 × 6371000     		dl = 130.159529999746m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13058304--1.13060347) × R
    2.04299999999602e-05 × 6371000     		dr = 130.159529999746m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.95734782-0.95739576) × cos(-1.13058304) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.426132426958701 × 6371000     		do = 130.151811842073m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.95734782-0.95739576) × cos(-1.13060347) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.426113944649722 × 6371000     		du = 130.146166869177m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13058304)-sin(-1.13060347))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.426132426958701-0.426113944649722)×R²
    abs(0.95739576-0.95734782)×1.84823089788844e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.84823089788844e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.84823089788844e-05×40589641000000     		ar = 16940.1312851598m²