Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 85506 / 96768
↖ ↑ ↗
← S 64.774125°
E 54.849243°		 ← 130.14 m → S 64.774125°
E 54.851990°		 →
↑
130.16 m
↓
↑
130.16 m
↓
S 64.775296°
E 54.849243°		 ← 130.14 m →
16 939 m²		 S 64.775296°
E 54.851990°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 85506 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96768 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.652362823486328 y=0.738285064697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.652362823486328 × 217)
    floor (0.652362823486328 × 131072)
    floor (85506.5)     		tx = 85506
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738285064697266 × 217)
    floor (0.738285064697266 × 131072)
    floor (96768.5)     		ty = 96768
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 85506 / 96768 ti = "17/85506/96768"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/85506/96768.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 85506 ÷ 217
    85506 ÷ 131072     		x = 0.652359008789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96768 ÷ 217
    96768 ÷ 131072     		y = 0.73828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.652359008789062 × 2 - 1) × π
    0.304718017578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.95729989
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73828125 × 2 - 1) × π
    -0.4765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.49716524893359
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.95729989} λ = 0.95729989}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49716524893359))-π/2
    2×atan(0.223763575971781)-π/2
    2×0.220137285001563-π/2
    0.440274570003125-1.57079632675     		φ = -1.13052176
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.95729989} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 54.849243°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13052176 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.774125°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 85506 KachelY 96768 0.95729989 -1.13052176 54.849243 -64.774125
    Oben rechts KachelX + 1 85507 KachelY 96768 0.95734782 -1.13052176 54.851990 -64.774125
    Unten links KachelX 85506 KachelY + 1 96769 0.95729989 -1.13054219 54.849243 -64.775296
    Unten rechts KachelX + 1 85507 KachelY + 1 96769 0.95734782 -1.13054219 54.851990 -64.775296
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13052176--1.13054219) × R
    2.04299999999602e-05 × 6371000     		dl = 130.159529999746m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13052176--1.13054219) × R
    2.04299999999602e-05 × 6371000     		dr = 130.159529999746m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.95729989-0.95734782) × cos(-1.13052176) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.426187863772093 × 6371000     		do = 130.141591242588m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.95729989-0.95734782) × cos(-1.13054219) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.426169381996634 × 6371000     		du = 130.135947610116m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13052176)-sin(-1.13054219))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.426187863772093-0.426169381996634)×R²
    abs(0.95734782-0.95729989)×1.84817754591005e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.84817754591005e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.84817754591005e-05×40589641000000     		ar = 16938.8010638271m²