Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 855 / 187
↖ ↑ ↗
← N 81.228267°
W 29.707031°		 ← 2 980.74 m → N 81.228267°
W 29.531250°		 →
↑
2 985.26 m
↓
↑
2 985.26 m
↓
N 81.201420°
W 29.707031°		 ← 2 989.79 m →
8 911 784 m²		 N 81.201420°
W 29.531250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 855 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 187 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417724609375 y=0.091552734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417724609375 × 211)
    floor (0.417724609375 × 2048)
    floor (855.5)     		tx = 855
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.091552734375 × 211)
    floor (0.091552734375 × 2048)
    floor (187.5)     		ty = 187
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 855 / 187 ti = "11/855/187"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/855/187.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 855 ÷ 211
    855 ÷ 2048     		x = 0.41748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 187 ÷ 211
    187 ÷ 2048     		y = 0.09130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41748046875 × 2 - 1) × π
    -0.1650390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51848551
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09130859375 × 2 - 1) × π
    0.8173828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.56788383884717
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51848551} λ = -0.51848551}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.56788383884717))-π/2
    2×atan(13.0382042854802)-π/2
    2×1.49424851197214-π/2
    2.98849702394428-1.57079632675     		φ = 1.41770070
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51848551} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.707031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41770070 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.228267°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 855 KachelY 187 -0.51848551 1.41770070 -29.707031 81.228267
    Oben rechts KachelX + 1 856 KachelY 187 -0.51541754 1.41770070 -29.531250 81.228267
    Unten links KachelX 855 KachelY + 1 188 -0.51848551 1.41723213 -29.707031 81.201420
    Unten rechts KachelX + 1 856 KachelY + 1 188 -0.51541754 1.41723213 -29.531250 81.201420
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41770070-1.41723213) × R
    0.000468570000000001 × 6371000     		dl = 2985.25947000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41770070-1.41723213) × R
    0.000468570000000001 × 6371000     		dr = 2985.25947000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51848551--0.51541754) × cos(1.41770070) × R
    0.00306797000000003 × 0.152498277802654 × 6371000     		do = 2980.7369605422m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51848551--0.51541754) × cos(1.41723213) × R
    0.00306797000000003 × 0.152961350526349 × 6371000     		du = 2989.78819707304m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41770070)-sin(1.41723213))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152498277802654-0.152961350526349)×R²
    abs(-0.51541754--0.51848551)×0.000463072723695557×R²
    0.00306797000000003×0.000463072723695557×6371000²
    0.00306797000000003×0.000463072723695557×40589641000000     		ar = 8911783.54687371m²