Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8548 / 24830
↖ ↑ ↗
← N 39.918163°
W133.044434°		 ← 468.50 m → N 39.918163°
W133.038940°		 →
↑
468.46 m
↓
↑
468.46 m
↓
N 39.913950°
W133.044434°		 ← 468.53 m →
219 480 m²		 N 39.913950°
W133.038940°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8548 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24830 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.130439758300781 y=0.378883361816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.130439758300781 × 216)
    floor (0.130439758300781 × 65536)
    floor (8548.5)     		tx = 8548
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.378883361816406 × 216)
    floor (0.378883361816406 × 65536)
    floor (24830.5)     		ty = 24830
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8548 / 24830 ti = "16/8548/24830"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8548/24830.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8548 ÷ 216
    8548 ÷ 65536     		x = 0.13043212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24830 ÷ 216
    24830 ÷ 65536     		y = 0.378875732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.13043212890625 × 2 - 1) × π
    -0.7391357421875 × 3.1415926535     		Λ = -2.32206342
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.378875732421875 × 2 - 1) × π
    0.24224853515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.761046218368011
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32206342} λ = -2.32206342}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.761046218368011))-π/2
    2×atan(2.14051449501238)-π/2
    2×1.13374984989941-π/2
    2.26749969979882-1.57079632675     		φ = 0.69670337
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32206342} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.044434°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69670337 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.918163°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8548 KachelY 24830 -2.32206342 0.69670337 -133.044434 39.918163
    Oben rechts KachelX + 1 8549 KachelY 24830 -2.32196754 0.69670337 -133.038940 39.918163
    Unten links KachelX 8548 KachelY + 1 24831 -2.32206342 0.69662984 -133.044434 39.913950
    Unten rechts KachelX + 1 8549 KachelY + 1 24831 -2.32196754 0.69662984 -133.038940 39.913950
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69670337-0.69662984) × R
    7.35300000000993e-05 × 6371000     		dl = 468.459630000633m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69670337-0.69662984) × R
    7.35300000000993e-05 × 6371000     		dr = 468.459630000633m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32206342--2.32196754) × cos(0.69670337) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.766961774731557 × 6371000     		do = 468.499735197891m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32206342--2.32196754) × cos(0.69662984) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.767008956328976 × 6371000     		du = 468.528556146503m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69670337)-sin(0.69662984))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.766961774731557-0.767008956328976)×R²
    abs(-2.32196754--2.32206342)×4.71815974186773e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.71815974186773e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.71815974186773e-05×40589641000000     		ar = 219479.963430613m²