Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8547 / 8679
↖ ↑ ↗
← S 10.639014°
E  7.800293°		 ← 2 401.28 m → S 10.639014°
E  7.822266°		 →
↑
2 401.17 m
↓
↑
2 401.17 m
↓
S 10.660608°
E  7.800293°		 ← 2 401.11 m →
5 765 664 m²		 S 10.660608°
E  7.822266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8547 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8679 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521697998046875 y=0.529754638671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521697998046875 × 214)
    floor (0.521697998046875 × 16384)
    floor (8547.5)     		tx = 8547
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.529754638671875 × 214)
    floor (0.529754638671875 × 16384)
    floor (8679.5)     		ty = 8679
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8547 / 8679 ti = "14/8547/8679"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8547/8679.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8547 ÷ 214
    8547 ÷ 16384     		x = 0.52166748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8679 ÷ 214
    8679 ÷ 16384     		y = 0.52972412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52166748046875 × 2 - 1) × π
    0.0433349609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.13614079
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52972412109375 × 2 - 1) × π
    -0.0594482421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.186762160919739
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13614079} λ = 0.13614079}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.186762160919739))-π/2
    2×atan(0.829641033982404)-π/2
    2×0.692555253628407-π/2
    1.38511050725681-1.57079632675     		φ = -0.18568582
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13614079} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.800293°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18568582 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.639014°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8547 KachelY 8679 0.13614079 -0.18568582 7.800293 -10.639014
    Oben rechts KachelX + 1 8548 KachelY 8679 0.13652429 -0.18568582 7.822266 -10.639014
    Unten links KachelX 8547 KachelY + 1 8680 0.13614079 -0.18606271 7.800293 -10.660608
    Unten rechts KachelX + 1 8548 KachelY + 1 8680 0.13652429 -0.18606271 7.822266 -10.660608
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18568582--0.18606271) × R
    0.000376889999999991 × 6371000     		dl = 2401.16618999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18568582--0.18606271) × R
    0.000376889999999991 × 6371000     		dr = 2401.16618999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13614079-0.13652429) × cos(-0.18568582) × R
    0.000383499999999981 × 0.982809865266929 × 6371000     		do = 2401.27821339447m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13614079-0.13652429) × cos(-0.18606271) × R
    0.000383499999999981 × 0.982740213805655 × 6371000     		du = 2401.10803547664m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18568582)-sin(-0.18606271))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.982809865266929-0.982740213805655)×R²
    abs(0.13652429-0.13614079)×6.96514612738008e-05×R²
    0.000383499999999981×6.96514612738008e-05×6371000²
    0.000383499999999981×6.96514612738008e-05×40589641000000     		ar = 5765663.8143043m²