Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 8547 / 7883
↖ ↑ ↗
← N 79.485631°
W133.049927°		 ← 111.46 m → N 79.485631°
W133.044434°		 →
↑
111.49 m
↓
↑
111.49 m
↓
N 79.484628°
W133.049927°		 ← 111.47 m →
12 427 m²		 N 79.484628°
W133.044434°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8547 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7883 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.130424499511719 y=0.120292663574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.130424499511719 × 216)
    floor (0.130424499511719 × 65536)
    floor (8547.5)     		tx = 8547
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120292663574219 × 216)
    floor (0.120292663574219 × 65536)
    floor (7883.5)     		ty = 7883
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8547 / 7883 ti = "16/8547/7883"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8547/7883.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8547 ÷ 216
    8547 ÷ 65536     		x = 0.130416870117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7883 ÷ 216
    7883 ÷ 65536     		y = 0.120285034179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.130416870117188 × 2 - 1) × π
    -0.739166259765625 × 3.1415926535     		Λ = -2.32215929
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.120285034179688 × 2 - 1) × π
    0.759429931640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.38581949409019
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32215929} λ = -2.32215929}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38581949409019))-π/2
    2×atan(10.8679652499091)-π/2
    2×1.4790411487891-π/2
    2.95808229757819-1.57079632675     		φ = 1.38728597
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32215929} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.049927°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38728597 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.485631°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8547 KachelY 7883 -2.32215929 1.38728597 -133.049927 79.485631
    Oben rechts KachelX + 1 8548 KachelY 7883 -2.32206342 1.38728597 -133.044434 79.485631
    Unten links KachelX 8547 KachelY + 1 7884 -2.32215929 1.38726847 -133.049927 79.484628
    Unten rechts KachelX + 1 8548 KachelY + 1 7884 -2.32206342 1.38726847 -133.044434 79.484628
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38728597-1.38726847) × R
    1.75000000000036e-05 × 6371000     		dl = 111.492500000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38728597-1.38726847) × R
    1.75000000000036e-05 × 6371000     		dr = 111.492500000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32215929--2.32206342) × cos(1.38728597) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.182482105670735 × 6371000     		do = 111.45783838753m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32215929--2.32206342) × cos(1.38726847) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.182499311803348 × 6371000     		du = 111.468347682899m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38728597)-sin(1.38726847))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182482105670735-0.182499311803348)×R²
    abs(-2.32206342--2.32215929)×1.7206132612857e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.7206132612857e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.7206132612857e-05×40589641000000     		ar = 12427.2989005159m²