Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8547 / 5348
↖ ↑ ↗
← N 76.258259°
W 86.099854°		 ← 290.20 m → N 76.258259°
W 86.088867°		 →
↑
290.20 m
↓
↑
290.20 m
↓
N 76.255650°
W 86.099854°		 ← 290.25 m →
84 222 m²		 N 76.255650°
W 86.088867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8547 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5348 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.260848999023438 y=0.163223266601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.260848999023438 × 215)
    floor (0.260848999023438 × 32768)
    floor (8547.5)     		tx = 8547
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.163223266601562 × 215)
    floor (0.163223266601562 × 32768)
    floor (5348.5)     		ty = 5348
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8547 / 5348 ti = "15/8547/5348"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8547/5348.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8547 ÷ 215
    8547 ÷ 32768     		x = 0.260833740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5348 ÷ 215
    5348 ÷ 32768     		y = 0.1632080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.260833740234375 × 2 - 1) × π
    -0.47833251953125 × 3.1415926535     		Λ = -1.50272593
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1632080078125 × 2 - 1) × π
    0.673583984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.11612649682776
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.50272593} λ = -1.50272593}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11612649682776))-π/2
    2×atan(8.29892921988564)-π/2
    2×1.45087701854683-π/2
    2.90175403709366-1.57079632675     		φ = 1.33095771
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.50272593} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -86.099854°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33095771 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.258259°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8547 KachelY 5348 -1.50272593 1.33095771 -86.099854 76.258259
    Oben rechts KachelX + 1 8548 KachelY 5348 -1.50253418 1.33095771 -86.088867 76.258259
    Unten links KachelX 8547 KachelY + 1 5349 -1.50272593 1.33091216 -86.099854 76.255650
    Unten rechts KachelX + 1 8548 KachelY + 1 5349 -1.50253418 1.33091216 -86.088867 76.255650
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33095771-1.33091216) × R
    4.55500000000608e-05 × 6371000     		dl = 290.199050000388m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33095771-1.33091216) × R
    4.55500000000608e-05 × 6371000     		dr = 290.199050000388m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.50272593--1.50253418) × cos(1.33095771) × R
    0.000191749999999935 × 0.237545865696767 × 6371000     		do = 290.195353210301m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.50272593--1.50253418) × cos(1.33091216) × R
    0.000191749999999935 × 0.237590111641853 × 6371000     		du = 290.249405793471m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33095771)-sin(1.33091216))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.237545865696767-0.237590111641853)×R²
    abs(-1.50253418--1.50272593)×4.42459450858967e-05×R²
    0.000191749999999935×4.42459450858967e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.42459450858967e-05×40589641000000     		ar = 84222.258834933m²