Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8543 / 8581
↖ ↑ ↗
← S  8.515836°
E  7.712402°		 ← 2 416.34 m → S  8.515836°
E  7.734375°		 →
↑
2 416.27 m
↓
↑
2 416.27 m
↓
S  8.537566°
E  7.712402°		 ← 2 416.20 m →
5 838 356 m²		 S  8.537566°
E  7.734375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8543 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8581 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521453857421875 y=0.523773193359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521453857421875 × 214)
    floor (0.521453857421875 × 16384)
    floor (8543.5)     		tx = 8543
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.523773193359375 × 214)
    floor (0.523773193359375 × 16384)
    floor (8581.5)     		ty = 8581
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8543 / 8581 ti = "14/8543/8581"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8543/8581.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8543 ÷ 214
    8543 ÷ 16384     		x = 0.52142333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8581 ÷ 214
    8581 ÷ 16384     		y = 0.52374267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52142333984375 × 2 - 1) × π
    0.0428466796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.13460681
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52374267578125 × 2 - 1) × π
    -0.0474853515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.149179631617615
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13460681} λ = 0.13460681}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.149179631617615))-π/2
    2×atan(0.861414363744678)-π/2
    2×0.711083478848858-π/2
    1.42216695769772-1.57079632675     		φ = -0.14862937
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13460681} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.712402°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14862937 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.515836°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8543 KachelY 8581 0.13460681 -0.14862937 7.712402 -8.515836
    Oben rechts KachelX + 1 8544 KachelY 8581 0.13499031 -0.14862937 7.734375 -8.515836
    Unten links KachelX 8543 KachelY + 1 8582 0.13460681 -0.14900863 7.712402 -8.537566
    Unten rechts KachelX + 1 8544 KachelY + 1 8582 0.13499031 -0.14900863 7.734375 -8.537566
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14862937--0.14900863) × R
    0.000379259999999992 × 6371000     		dl = 2416.26545999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14862937--0.14900863) × R
    0.000379259999999992 × 6371000     		dr = 2416.26545999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13460681-0.13499031) × cos(-0.14862937) × R
    0.000383500000000009 × 0.988974973493746 × 6371000     		do = 2416.3412897754m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13460681-0.13499031) × cos(-0.14900863) × R
    0.000383500000000009 × 0.98891874050394 × 6371000     		du = 2416.20389692041m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14862937)-sin(-0.14900863))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988974973493746-0.98891874050394)×R²
    abs(0.13499031-0.13460681)×5.62329898055047e-05×R²
    0.000383500000000009×5.62329898055047e-05×6371000²
    0.000383500000000009×5.62329898055047e-05×40589641000000     		ar = 5838356.07923233m²