Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8542 / 5357
↖ ↑ ↗
← N 76.234752°
W 86.154785°		 ← 290.68 m → N 76.234752°
W 86.143799°		 →
↑
290.71 m
↓
↑
290.71 m
↓
N 76.232138°
W 86.154785°		 ← 290.74 m →
84 512 m²		 N 76.232138°
W 86.143799°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8542 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5357 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.260696411132812 y=0.163497924804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.260696411132812 × 215)
    floor (0.260696411132812 × 32768)
    floor (8542.5)     		tx = 8542
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.163497924804688 × 215)
    floor (0.163497924804688 × 32768)
    floor (5357.5)     		ty = 5357
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8542 / 5357 ti = "15/8542/5357"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8542/5357.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8542 ÷ 215
    8542 ÷ 32768     		x = 0.26068115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5357 ÷ 215
    5357 ÷ 32768     		y = 0.163482666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.26068115234375 × 2 - 1) × π
    -0.4786376953125 × 3.1415926535     		Λ = -1.50368467
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.163482666015625 × 2 - 1) × π
    0.67303466796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.11440076844144
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.50368467} λ = -1.50368467}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11440076844144))-π/2
    2×atan(8.28461987272937)-π/2
    2×1.45067187683635-π/2
    2.90134375367269-1.57079632675     		φ = 1.33054743
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.50368467} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -86.154785°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33054743 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.234752°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8542 KachelY 5357 -1.50368467 1.33054743 -86.154785 76.234752
    Oben rechts KachelX + 1 8543 KachelY 5357 -1.50349292 1.33054743 -86.143799 76.234752
    Unten links KachelX 8542 KachelY + 1 5358 -1.50368467 1.33050180 -86.154785 76.232138
    Unten rechts KachelX + 1 8543 KachelY + 1 5358 -1.50349292 1.33050180 -86.143799 76.232138
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33054743-1.33050180) × R
    4.56300000000187e-05 × 6371000     		dl = 290.708730000119m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33054743-1.33050180) × R
    4.56300000000187e-05 × 6371000     		dr = 290.708730000119m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.50368467--1.50349292) × cos(1.33054743) × R
    0.000191749999999935 × 0.237944381970547 × 6371000     		do = 290.682196332115m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.50368467--1.50349292) × cos(1.33050180) × R
    0.000191749999999935 × 0.237988701173613 × 6371000     		du = 290.736338410108m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33054743)-sin(1.33050180))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.237944381970547-0.237988701173613)×R²
    abs(-1.50349292--1.50368467)×4.43192030657458e-05×R²
    0.000191749999999935×4.43192030657458e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.43192030657458e-05×40589641000000     		ar = 84511.7219315678m²