Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 85417 / 97383
↖ ↑ ↗
← S 65.484487°
E 54.604797°		 ← 126.73 m → S 65.484487°
E 54.607544°		 →
↑
126.72 m
↓
↑
126.72 m
↓
S 65.485626°
E 54.604797°		 ← 126.73 m →
16 059 m²		 S 65.485626°
E 54.607544°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 85417 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97383 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.651683807373047 y=0.742977142333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.651683807373047 × 217)
    floor (0.651683807373047 × 131072)
    floor (85417.5)     		tx = 85417
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742977142333984 × 217)
    floor (0.742977142333984 × 131072)
    floor (97383.5)     		ty = 97383
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 85417 / 97383 ti = "17/85417/97383"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/85417/97383.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 85417 ÷ 217
    85417 ÷ 131072     		x = 0.651679992675781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97383 ÷ 217
    97383 ÷ 131072     		y = 0.742973327636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.651679992675781 × 2 - 1) × π
    0.303359985351562 × 3.1415926535     		Λ = 0.95303350
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.742973327636719 × 2 - 1) × π
    -0.485946655273438 × 3.1415926535     		Φ = -1.52664644219993
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.95303350} λ = 0.95303350}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52664644219993))-π/2
    2×atan(0.21726305117233)-π/2
    2×0.213938214726628-π/2
    0.427876429453256-1.57079632675     		φ = -1.14291990
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.95303350} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 54.604797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14291990 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.484487°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 85417 KachelY 97383 0.95303350 -1.14291990 54.604797 -65.484487
    Oben rechts KachelX + 1 85418 KachelY 97383 0.95308144 -1.14291990 54.607544 -65.484487
    Unten links KachelX 85417 KachelY + 1 97384 0.95303350 -1.14293979 54.604797 -65.485626
    Unten rechts KachelX + 1 85418 KachelY + 1 97384 0.95308144 -1.14293979 54.607544 -65.485626
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14291990--1.14293979) × R
    1.98899999999114e-05 × 6371000     		dl = 126.719189999435m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14291990--1.14293979) × R
    1.98899999999114e-05 × 6371000     		dr = 126.719189999435m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.95303350-0.95308144) × cos(-1.14291990) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.414939608617359 × 6371000     		do = 126.733237017184m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.95303350-0.95308144) × cos(-1.14293979) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.414921511639565 × 6371000     		du = 126.72770973435m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14291990)-sin(-1.14293979))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.414939608617359-0.414921511639565)×R²
    abs(0.95308144-0.95303350)×1.80969777943685e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.80969777943685e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.80969777943685e-05×40589641000000     		ar = 16059.1829347851m²