Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8541 / 9069
↖ ↑ ↗
← S 18.916680°
E  7.668457°		 ← 2 311.32 m → S 18.916680°
E  7.690430°		 →
↑
2 311.14 m
↓
↑
2 311.14 m
↓
S 18.937465°
E  7.668457°		 ← 2 311.03 m →
5 341 460 m²		 S 18.937465°
E  7.690430°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8541 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9069 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521331787109375 y=0.553558349609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521331787109375 × 214)
    floor (0.521331787109375 × 16384)
    floor (8541.5)     		tx = 8541
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.553558349609375 × 214)
    floor (0.553558349609375 × 16384)
    floor (9069.5)     		ty = 9069
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8541 / 9069 ti = "14/8541/9069"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8541/9069.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8541 ÷ 214
    8541 ÷ 16384     		x = 0.52130126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9069 ÷ 214
    9069 ÷ 16384     		y = 0.55352783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52130126953125 × 2 - 1) × π
    0.0426025390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.13383982
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55352783203125 × 2 - 1) × π
    -0.1070556640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.336325287734314
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13383982} λ = 0.13383982}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.336325287734314))-π/2
    2×atan(0.714390685488868)-π/2
    2×0.620318990490757-π/2
    1.24063798098151-1.57079632675     		φ = -0.33015835
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13383982} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.668457°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33015835 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.916680°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8541 KachelY 9069 0.13383982 -0.33015835 7.668457 -18.916680
    Oben rechts KachelX + 1 8542 KachelY 9069 0.13422332 -0.33015835 7.690430 -18.916680
    Unten links KachelX 8541 KachelY + 1 9070 0.13383982 -0.33052111 7.668457 -18.937465
    Unten rechts KachelX + 1 8542 KachelY + 1 9070 0.13422332 -0.33052111 7.690430 -18.937465
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33015835--0.33052111) × R
    0.000362760000000018 × 6371000     		dl = 2311.14396000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33015835--0.33052111) × R
    0.000362760000000018 × 6371000     		dr = 2311.14396000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13383982-0.13422332) × cos(-0.33015835) × R
    0.000383500000000009 × 0.945991019454181 × 6371000     		do = 2311.31951902553m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13383982-0.13422332) × cos(-0.33052111) × R
    0.000383500000000009 × 0.945873353021942 × 6371000     		du = 2311.03202716147m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33015835)-sin(-0.33052111))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.945991019454181-0.945873353021942)×R²
    abs(0.13422332-0.13383982)×0.000117666432238206×R²
    0.000383500000000009×0.000117666432238206×6371000²
    0.000383500000000009×0.000117666432238206×40589641000000     		ar = 5341459.98705996m²