Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8541 / 5356
↖ ↑ ↗
← N 76.237366°
W 86.165771°		 ← 290.61 m → N 76.237366°
W 86.154785°		 →
↑
290.65 m
↓
↑
290.65 m
↓
N 76.234752°
W 86.165771°		 ← 290.67 m →
84 473 m²		 N 76.234752°
W 86.154785°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8541 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5356 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.260665893554688 y=0.163467407226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.260665893554688 × 215)
    floor (0.260665893554688 × 32768)
    floor (8541.5)     		tx = 8541
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.163467407226562 × 215)
    floor (0.163467407226562 × 32768)
    floor (5356.5)     		ty = 5356
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8541 / 5356 ti = "15/8541/5356"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8541/5356.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8541 ÷ 215
    8541 ÷ 32768     		x = 0.260650634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5356 ÷ 215
    5356 ÷ 32768     		y = 0.1634521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.260650634765625 × 2 - 1) × π
    -0.47869873046875 × 3.1415926535     		Λ = -1.50387641
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1634521484375 × 2 - 1) × π
    0.673095703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.11459251603992
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.50387641} λ = -1.50387641}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11459251603992))-π/2
    2×atan(8.28620858100491)-π/2
    2×1.45069468734435-π/2
    2.9013893746887-1.57079632675     		φ = 1.33059305
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.50387641} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -86.165771°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33059305 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.237366°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8541 KachelY 5356 -1.50387641 1.33059305 -86.165771 76.237366
    Oben rechts KachelX + 1 8542 KachelY 5356 -1.50368467 1.33059305 -86.154785 76.237366
    Unten links KachelX 8541 KachelY + 1 5357 -1.50387641 1.33054743 -86.165771 76.234752
    Unten rechts KachelX + 1 8542 KachelY + 1 5357 -1.50368467 1.33054743 -86.154785 76.234752
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33059305-1.33054743) × R
    4.56200000000795e-05 × 6371000     		dl = 290.645020000506m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33059305-1.33054743) × R
    4.56200000000795e-05 × 6371000     		dr = 290.645020000506m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.50387641--1.50368467) × cos(1.33059305) × R
    0.000191739999999996 × 0.237900071984955 × 6371000     		do = 290.612908901054m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.50387641--1.50368467) × cos(1.33054743) × R
    0.000191739999999996 × 0.237944381970547 × 6371000     		du = 290.667036895631m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33059305)-sin(1.33054743))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.237900071984955-0.237944381970547)×R²
    abs(-1.50368467--1.50387641)×4.43099855926554e-05×R²
    0.000191739999999996×4.43099855926554e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.43099855926554e-05×40589641000000     		ar = 84473.060750668m²