Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 85409 / 97440
↖ ↑ ↗
← S 65.549367°
E 54.582825°		 ← 126.39 m → S 65.549367°
E 54.585571°		 →
↑
126.40 m
↓
↑
126.40 m
↓
S 65.550503°
E 54.582825°		 ← 126.39 m →
15 976 m²		 S 65.550503°
E 54.585571°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 85409 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97440 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.651622772216797 y=0.743412017822266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.651622772216797 × 217)
    floor (0.651622772216797 × 131072)
    floor (85409.5)     		tx = 85409
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743412017822266 × 217)
    floor (0.743412017822266 × 131072)
    floor (97440.5)     		ty = 97440
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 85409 / 97440 ti = "17/85409/97440"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/85409/97440.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 85409 ÷ 217
    85409 ÷ 131072     		x = 0.651618957519531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97440 ÷ 217
    97440 ÷ 131072     		y = 0.743408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.651618957519531 × 2 - 1) × π
    0.303237915039062 × 3.1415926535     		Λ = 0.95265001
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743408203125 × 2 - 1) × π
    -0.48681640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.52937884547827
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.95265001} λ = 0.95265001}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52937884547827))-π/2
    2×atan(0.216670211206823)-π/2
    2×0.213372027754143-π/2
    0.426744055508287-1.57079632675     		φ = -1.14405227
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.95265001} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 54.582825°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14405227 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.549367°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 85409 KachelY 97440 0.95265001 -1.14405227 54.582825 -65.549367
    Oben rechts KachelX + 1 85410 KachelY 97440 0.95269794 -1.14405227 54.585571 -65.549367
    Unten links KachelX 85409 KachelY + 1 97441 0.95265001 -1.14407211 54.582825 -65.550503
    Unten rechts KachelX + 1 85410 KachelY + 1 97441 0.95269794 -1.14407211 54.585571 -65.550503
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14405227--1.14407211) × R
    1.98399999999932e-05 × 6371000     		dl = 126.400639999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14405227--1.14407211) × R
    1.98399999999932e-05 × 6371000     		dr = 126.400639999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.95265001-0.95269794) × cos(-1.14405227) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.413909057145611 × 6371000     		do = 126.392109925154m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.95265001-0.95269794) × cos(-1.14407211) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.41389099635033 × 6371000     		du = 126.386594844044m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14405227)-sin(-1.14407211))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.413909057145611-0.41389099635033)×R²
    abs(0.95269794-0.95265001)×1.80607952812717e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.80607952812717e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.80607952812717e-05×40589641000000     		ar = 15975.6950309794m²