Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 85407 / 97377
↖ ↑ ↗
← S 65.477648°
E 54.577331°		 ← 126.77 m → S 65.477648°
E 54.580078°		 →
↑
126.72 m
↓
↑
126.72 m
↓
S 65.478787°
E 54.577331°		 ← 126.76 m →
16 063 m²		 S 65.478787°
E 54.580078°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 85407 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97377 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.651607513427734 y=0.742931365966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.651607513427734 × 217)
    floor (0.651607513427734 × 131072)
    floor (85407.5)     		tx = 85407
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742931365966797 × 217)
    floor (0.742931365966797 × 131072)
    floor (97377.5)     		ty = 97377
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 85407 / 97377 ti = "17/85407/97377"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/85407/97377.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 85407 ÷ 217
    85407 ÷ 131072     		x = 0.651603698730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97377 ÷ 217
    97377 ÷ 131072     		y = 0.742927551269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.651603698730469 × 2 - 1) × π
    0.303207397460938 × 3.1415926535     		Λ = 0.95255413
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.742927551269531 × 2 - 1) × π
    -0.485855102539062 × 3.1415926535     		Φ = -1.52635882080221
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.95255413} λ = 0.95255413}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52635882080221))-π/2
    2×atan(0.217325549662302)-π/2
    2×0.213997895290557-π/2
    0.427995790581115-1.57079632675     		φ = -1.14280054
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.95255413} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 54.577331°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14280054 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.477648°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 85407 KachelY 97377 0.95255413 -1.14280054 54.577331 -65.477648
    Oben rechts KachelX + 1 85408 KachelY 97377 0.95260207 -1.14280054 54.580078 -65.477648
    Unten links KachelX 85407 KachelY + 1 97378 0.95255413 -1.14282043 54.577331 -65.478787
    Unten rechts KachelX + 1 85408 KachelY + 1 97378 0.95260207 -1.14282043 54.580078 -65.478787
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14280054--1.14282043) × R
    1.98899999999114e-05 × 6371000     		dl = 126.719189999435m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14280054--1.14282043) × R
    1.98899999999114e-05 × 6371000     		dr = 126.719189999435m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.95255413-0.95260207) × cos(-1.14280054) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.415048205232606 × 6371000     		do = 126.766405218758m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.95255413-0.95260207) × cos(-1.14282043) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.415030109240015 × 6371000     		du = 126.760878236829m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14280054)-sin(-1.14282043))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.415048205232606-0.415030109240015)×R²
    abs(0.95260207-0.95255413)×1.80959925911162e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.80959925911162e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.80959925911162e-05×40589641000000     		ar = 16063.3860015651m²