Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 854 / 978
↖ ↑ ↗
← N 79.544609°
W142.470703°		 ← 886.75 m → N 79.544609°
W142.426758°		 →
↑
887.10 m
↓
↑
887.10 m
↓
N 79.536631°
W142.470703°		 ← 887.42 m →
786 932 m²		 N 79.536631°
W142.426758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 854 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 978 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.10430908203125 y=0.11944580078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.10430908203125 × 213)
    floor (0.10430908203125 × 8192)
    floor (854.5)     		tx = 854
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.11944580078125 × 213)
    floor (0.11944580078125 × 8192)
    floor (978.5)     		ty = 978
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 854 / 978 ti = "13/854/978"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/854/978.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 854 ÷ 213
    854 ÷ 8192     		x = 0.104248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 978 ÷ 213
    978 ÷ 8192     		y = 0.119384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.104248046875 × 2 - 1) × π
    -0.79150390625 × 3.1415926535     		Λ = -2.48658286
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.119384765625 × 2 - 1) × π
    0.76123046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.39147604824536
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.48658286} λ = -2.48658286}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39147604824536))-π/2
    2×atan(10.9296146811941)-π/2
    2×1.47955582611703-π/2
    2.95911165223407-1.57079632675     		φ = 1.38831533
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.48658286} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -142.470703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38831533 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.544609°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 854 KachelY 978 -2.48658286 1.38831533 -142.470703 79.544609
    Oben rechts KachelX + 1 855 KachelY 978 -2.48581587 1.38831533 -142.426758 79.544609
    Unten links KachelX 854 KachelY + 1 979 -2.48658286 1.38817609 -142.470703 79.536631
    Unten rechts KachelX + 1 855 KachelY + 1 979 -2.48581587 1.38817609 -142.426758 79.536631
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38831533-1.38817609) × R
    0.000139239999999985 × 6371000     		dl = 887.098039999904m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38831533-1.38817609) × R
    0.000139239999999985 × 6371000     		dr = 887.098039999904m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.48658286--2.48581587) × cos(1.38831533) × R
    0.000766989999999801 × 0.18146993297608 × 6371000     		do = 886.751609824136m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.48658286--2.48581587) × cos(1.38817609) × R
    0.000766989999999801 × 0.181606859344243 × 6371000     		du = 887.420699603389m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38831533)-sin(1.38817609))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18146993297608-0.181606859344243)×R²
    abs(-2.48581587--2.48658286)×0.000136926368162954×R²
    0.000766989999999801×0.000136926368162954×6371000²
    0.000766989999999801×0.000136926368162954×40589641000000     		ar = 786932.39042937m²