Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 854 / 219
↖ ↑ ↗
← N 80.327506°
W 29.882813°		 ← 3 284.04 m → N 80.327506°
W 29.707031°		 →
↑
3 289.03 m
↓
↑
3 289.03 m
↓
N 80.297927°
W 29.882813°		 ← 3 293.99 m →
10 817 657 m²		 N 80.297927°
W 29.707031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 854 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 219 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417236328125 y=0.107177734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417236328125 × 211)
    floor (0.417236328125 × 2048)
    floor (854.5)     		tx = 854
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.107177734375 × 211)
    floor (0.107177734375 × 2048)
    floor (219.5)     		ty = 219
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 854 / 219 ti = "11/854/219"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/854/219.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 854 ÷ 211
    854 ÷ 2048     		x = 0.4169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 219 ÷ 211
    219 ÷ 2048     		y = 0.10693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4169921875 × 2 - 1) × π
    -0.166015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.52155347
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10693359375 × 2 - 1) × π
    0.7861328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.46970906842529
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52155347} λ = -0.52155347}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46970906842529))-π/2
    2×atan(11.8190078288513)-π/2
    2×1.48638789271066-π/2
    2.97277578542133-1.57079632675     		φ = 1.40197946
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52155347} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.882813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40197946 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.327506°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 854 KachelY 219 -0.52155347 1.40197946 -29.882813 80.327506
    Oben rechts KachelX + 1 855 KachelY 219 -0.51848551 1.40197946 -29.707031 80.327506
    Unten links KachelX 854 KachelY + 1 220 -0.52155347 1.40146321 -29.882813 80.297927
    Unten rechts KachelX + 1 855 KachelY + 1 220 -0.51848551 1.40146321 -29.707031 80.297927
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40197946-1.40146321) × R
    0.000516249999999996 × 6371000     		dl = 3289.02874999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40197946-1.40146321) × R
    0.000516249999999996 × 6371000     		dr = 3289.02874999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52155347--0.51848551) × cos(1.40197946) × R
    0.00306795999999998 × 0.168016152863802 × 6371000     		do = 3284.03921432231m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52155347--0.51848551) × cos(1.40146321) × R
    0.00306795999999998 × 0.168525041566953 × 6371000     		du = 3293.98593925554m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40197946)-sin(1.40146321))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.168016152863802-0.168525041566953)×R²
    abs(-0.51848551--0.52155347)×0.000508888703151383×R²
    0.00306795999999998×0.000508888703151383×6371000²
    0.00306795999999998×0.000508888703151383×40589641000000     		ar = 10817657.1644215m²