Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 85388 / 96904
↖ ↑ ↗
← S 64.932853°
E 54.525146°		 ← 129.40 m → S 64.932853°
E 54.527893°		 →
↑
129.40 m
↓
↑
129.40 m
↓
S 64.934016°
E 54.525146°		 ← 129.40 m →
16 744 m²		 S 64.934016°
E 54.527893°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 85388 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96904 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.651462554931641 y=0.739322662353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.651462554931641 × 217)
    floor (0.651462554931641 × 131072)
    floor (85388.5)     		tx = 85388
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739322662353516 × 217)
    floor (0.739322662353516 × 131072)
    floor (96904.5)     		ty = 96904
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 85388 / 96904 ti = "17/85388/96904"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/85388/96904.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 85388 ÷ 217
    85388 ÷ 131072     		x = 0.651458740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96904 ÷ 217
    96904 ÷ 131072     		y = 0.73931884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.651458740234375 × 2 - 1) × π
    0.30291748046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.95164333
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73931884765625 × 2 - 1) × π
    -0.4786376953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.50368466728192
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.95164333} λ = 0.95164333}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50368466728192))-π/2
    2×atan(0.222309512582817)-π/2
    2×0.218752126915067-π/2
    0.437504253830134-1.57079632675     		φ = -1.13329207
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.95164333} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 54.525146°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13329207 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.932853°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 85388 KachelY 96904 0.95164333 -1.13329207 54.525146 -64.932853
    Oben rechts KachelX + 1 85389 KachelY 96904 0.95169127 -1.13329207 54.527893 -64.932853
    Unten links KachelX 85388 KachelY + 1 96905 0.95164333 -1.13331238 54.525146 -64.934016
    Unten rechts KachelX + 1 85389 KachelY + 1 96905 0.95169127 -1.13331238 54.527893 -64.934016
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13329207--1.13331238) × R
    2.03100000000234e-05 × 6371000     		dl = 129.395010000149m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13329207--1.13331238) × R
    2.03100000000234e-05 × 6371000     		dr = 129.395010000149m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.95164333-0.95169127) × cos(-1.13329207) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.423680113063164 × 6371000     		do = 129.402812055516m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.95164333-0.95169127) × cos(-1.13331238) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.423661715936501 × 6371000     		du = 129.397193099491m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13329207)-sin(-1.13331238))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.423680113063164-0.423661715936501)×R²
    abs(0.95169127-0.95164333)×1.83971266630167e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.83971266630167e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.83971266630167e-05×40589641000000     		ar = 16743.7146279867m²