Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 85386 / 96898
↖ ↑ ↗
← S 64.925870°
E 54.519653°		 ← 129.41 m → S 64.925870°
E 54.522400°		 →
↑
129.40 m
↓
↑
129.40 m
↓
S 64.927034°
E 54.519653°		 ← 129.40 m →
16 745 m²		 S 64.927034°
E 54.522400°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 85386 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96898 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.651447296142578 y=0.739276885986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.651447296142578 × 217)
    floor (0.651447296142578 × 131072)
    floor (85386.5)     		tx = 85386
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739276885986328 × 217)
    floor (0.739276885986328 × 131072)
    floor (96898.5)     		ty = 96898
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 85386 / 96898 ti = "17/85386/96898"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/85386/96898.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 85386 ÷ 217
    85386 ÷ 131072     		x = 0.651443481445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96898 ÷ 217
    96898 ÷ 131072     		y = 0.739273071289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.651443481445312 × 2 - 1) × π
    0.302886962890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.95154746
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.739273071289062 × 2 - 1) × π
    -0.478546142578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.5033970458842
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.95154746} λ = 0.95154746}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5033970458842))-π/2
    2×atan(0.22237346275183)-π/2
    2×0.21881306458541-π/2
    0.437626129170821-1.57079632675     		φ = -1.13317020
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.95154746} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 54.519653°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13317020 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.925870°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 85386 KachelY 96898 0.95154746 -1.13317020 54.519653 -64.925870
    Oben rechts KachelX + 1 85387 KachelY 96898 0.95159539 -1.13317020 54.522400 -64.925870
    Unten links KachelX 85386 KachelY + 1 96899 0.95154746 -1.13319051 54.519653 -64.927034
    Unten rechts KachelX + 1 85387 KachelY + 1 96899 0.95159539 -1.13319051 54.522400 -64.927034
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13317020--1.13319051) × R
    2.03100000000234e-05 × 6371000     		dl = 129.395010000149m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13317020--1.13319051) × R
    2.03100000000234e-05 × 6371000     		dr = 129.395010000149m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.95154746-0.95159539) × cos(-1.13317020) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.423790501210385 × 6371000     		do = 129.4095277444m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.95154746-0.95159539) × cos(-1.13319051) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.42377210513252 × 6371000     		du = 129.403910280719m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13317020)-sin(-1.13319051))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.423790501210385-0.42377210513252)×R²
    abs(0.95159539-0.95154746)×1.83960778648018e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.83960778648018e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.83960778648018e-05×40589641000000     		ar = 16744.5837011742m²