Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 85381 / 96893
↖ ↑ ↗
← S 64.920049°
E 54.505920°		 ← 129.46 m → S 64.920049°
E 54.508667°		 →
↑
129.46 m
↓
↑
129.46 m
↓
S 64.921214°
E 54.505920°		 ← 129.46 m →
16 760 m²		 S 64.921214°
E 54.508667°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 85381 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96893 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.651409149169922 y=0.739238739013672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.651409149169922 × 217)
    floor (0.651409149169922 × 131072)
    floor (85381.5)     		tx = 85381
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739238739013672 × 217)
    floor (0.739238739013672 × 131072)
    floor (96893.5)     		ty = 96893
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 85381 / 96893 ti = "17/85381/96893"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/85381/96893.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 85381 ÷ 217
    85381 ÷ 131072     		x = 0.651405334472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96893 ÷ 217
    96893 ÷ 131072     		y = 0.739234924316406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.651405334472656 × 2 - 1) × π
    0.302810668945312 × 3.1415926535     		Λ = 0.95130777
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.739234924316406 × 2 - 1) × π
    -0.478469848632812 × 3.1415926535     		Φ = -1.5031573613861
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.95130777} λ = 0.95130777}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5031573613861))-π/2
    2×atan(0.22242676861168)-π/2
    2×0.218863858105725-π/2
    0.43772771621145-1.57079632675     		φ = -1.13306861
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.95130777} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 54.505920°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13306861 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.920049°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 85381 KachelY 96893 0.95130777 -1.13306861 54.505920 -64.920049
    Oben rechts KachelX + 1 85382 KachelY 96893 0.95135571 -1.13306861 54.508667 -64.920049
    Unten links KachelX 85381 KachelY + 1 96894 0.95130777 -1.13308893 54.505920 -64.921214
    Unten rechts KachelX + 1 85382 KachelY + 1 96894 0.95135571 -1.13308893 54.508667 -64.921214
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13306861--1.13308893) × R
    2.03199999999626e-05 × 6371000     		dl = 129.458719999762m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13306861--1.13308893) × R
    2.03199999999626e-05 × 6371000     		dr = 129.458719999762m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.95130777-0.95135571) × cos(-1.13306861) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.423882515206065 × 6371000     		do = 129.464630879789m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.95130777-0.95135571) × cos(-1.13308893) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.423864110945423 × 6371000     		du = 129.459009744863m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13306861)-sin(-1.13308893))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.423882515206065-0.423864110945423)×R²
    abs(0.95135571-0.95130777)×1.8404260642757e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.8404260642757e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.8404260642757e-05×40589641000000     		ar = 16759.9615470452m²