Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8538 / 8641
↖ ↑ ↗
← S  9.817329°
E  7.602539°		 ← 2 407.44 m → S  9.817329°
E  7.624512°		 →
↑
2 407.41 m
↓
↑
2 407.41 m
↓
S  9.838980°
E  7.602539°		 ← 2 407.28 m →
5 795 498 m²		 S  9.838980°
E  7.624512°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8538 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8641 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.521148681640625 y=0.527435302734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.521148681640625 × 214)
    floor (0.521148681640625 × 16384)
    floor (8538.5)     		tx = 8538
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527435302734375 × 214)
    floor (0.527435302734375 × 16384)
    floor (8641.5)     		ty = 8641
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8538 / 8641 ti = "14/8538/8641"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8538/8641.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8538 ÷ 214
    8538 ÷ 16384     		x = 0.5211181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8641 ÷ 214
    8641 ÷ 16384     		y = 0.52740478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5211181640625 × 2 - 1) × π
    0.042236328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.13268934
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52740478515625 × 2 - 1) × π
    -0.0548095703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.172189343435242
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13268934} λ = 0.13268934}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.172189343435242))-π/2
    2×atan(0.841819765031369)-π/2
    2×0.699725804366637-π/2
    1.39945160873327-1.57079632675     		φ = -0.17134472
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13268934} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.602539°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17134472 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.817329°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8538 KachelY 8641 0.13268934 -0.17134472 7.602539 -9.817329
    Oben rechts KachelX + 1 8539 KachelY 8641 0.13307283 -0.17134472 7.624512 -9.817329
    Unten links KachelX 8538 KachelY + 1 8642 0.13268934 -0.17172259 7.602539 -9.838980
    Unten rechts KachelX + 1 8539 KachelY + 1 8642 0.13307283 -0.17172259 7.624512 -9.838980
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17134472--0.17172259) × R
    0.000377870000000002 × 6371000     		dl = 2407.40977000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17134472--0.17172259) × R
    0.000377870000000002 × 6371000     		dr = 2407.40977000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13268934-0.13307283) × cos(-0.17134472) × R
    0.000383490000000014 × 0.985356372987213 × 6371000     		do = 2407.4372639032m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13268934-0.13307283) × cos(-0.17172259) × R
    0.000383490000000014 × 0.985291872960495 × 6371000     		du = 2407.27967648397m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17134472)-sin(-0.17172259))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985356372987213-0.985291872960495)×R²
    abs(0.13307283-0.13268934)×6.4500026717762e-05×R²
    0.000383490000000014×6.4500026717762e-05×6371000²
    0.000383490000000014×6.4500026717762e-05×40589641000000     		ar = 5795498.36999566m²