Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8534 / 9062
↖ ↑ ↗
← S 18.771115°
E  7.514649°		 ← 2 313.26 m → S 18.771115°
E  7.536621°		 →
↑
2 313.18 m
↓
↑
2 313.18 m
↓
S 18.791918°
E  7.514649°		 ← 2 312.98 m →
5 350 672 m²		 S 18.791918°
E  7.536621°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8534 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9062 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520904541015625 y=0.553131103515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520904541015625 × 214)
    floor (0.520904541015625 × 16384)
    floor (8534.5)     		tx = 8534
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.553131103515625 × 214)
    floor (0.553131103515625 × 16384)
    floor (9062.5)     		ty = 9062
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8534 / 9062 ti = "14/8534/9062"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8534/9062.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8534 ÷ 214
    8534 ÷ 16384     		x = 0.5208740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9062 ÷ 214
    9062 ÷ 16384     		y = 0.5531005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5208740234375 × 2 - 1) × π
    0.041748046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.13115536
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5531005859375 × 2 - 1) × π
    -0.106201171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.333640821355591
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13115536} λ = 0.13115536}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.333640821355591))-π/2
    2×atan(0.716311019648362)-π/2
    2×0.621589282347722-π/2
    1.24317856469544-1.57079632675     		φ = -0.32761776
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13115536} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.514649°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32761776 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.771115°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8534 KachelY 9062 0.13115536 -0.32761776 7.514649 -18.771115
    Oben rechts KachelX + 1 8535 KachelY 9062 0.13153885 -0.32761776 7.536621 -18.771115
    Unten links KachelX 8534 KachelY + 1 9063 0.13115536 -0.32798084 7.514649 -18.791918
    Unten rechts KachelX + 1 8535 KachelY + 1 9063 0.13153885 -0.32798084 7.536621 -18.791918
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32761776--0.32798084) × R
    0.000363080000000016 × 6371000     		dl = 2313.1826800001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32761776--0.32798084) × R
    0.000363080000000016 × 6371000     		dr = 2313.1826800001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13115536-0.13153885) × cos(-0.32761776) × R
    0.000383490000000014 × 0.946811606636437 × 6371000     		do = 2313.26412067789m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13115536-0.13153885) × cos(-0.32798084) × R
    0.000383490000000014 × 0.946694709294984 × 6371000     		du = 2312.97851536434m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32761776)-sin(-0.32798084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.946811606636437-0.946694709294984)×R²
    abs(0.13153885-0.13115536)×0.000116897341453592×R²
    0.000383490000000014×0.000116897341453592×6371000²
    0.000383490000000014×0.000116897341453592×40589641000000     		ar = 5350672.22836618m²