Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 85337 / 96731
↖ ↑ ↗
← S 64.730780°
E 54.385071°		 ← 130.38 m → S 64.730780°
E 54.387818°		 →
↑
130.35 m
↓
↑
130.35 m
↓
S 64.731952°
E 54.385071°		 ← 130.37 m →
16 994 m²		 S 64.731952°
E 54.387818°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 85337 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96731 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.651073455810547 y=0.738002777099609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.651073455810547 × 217)
    floor (0.651073455810547 × 131072)
    floor (85337.5)     		tx = 85337
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738002777099609 × 217)
    floor (0.738002777099609 × 131072)
    floor (96731.5)     		ty = 96731
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 85337 / 96731 ti = "17/85337/96731"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/85337/96731.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 85337 ÷ 217
    85337 ÷ 131072     		x = 0.651069641113281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96731 ÷ 217
    96731 ÷ 131072     		y = 0.737998962402344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.651069641113281 × 2 - 1) × π
    0.302139282226562 × 3.1415926535     		Λ = 0.94919855
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.737998962402344 × 2 - 1) × π
    -0.475997924804688 × 3.1415926535     		Φ = -1.49539158364765
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.94919855} λ = 0.94919855}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49539158364765))-π/2
    2×atan(0.224160809834559)-π/2
    2×0.220515545659808-π/2
    0.441031091319616-1.57079632675     		φ = -1.12976524
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.94919855} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 54.385071°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12976524 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.730780°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 85337 KachelY 96731 0.94919855 -1.12976524 54.385071 -64.730780
    Oben rechts KachelX + 1 85338 KachelY 96731 0.94924649 -1.12976524 54.387818 -64.730780
    Unten links KachelX 85337 KachelY + 1 96732 0.94919855 -1.12978570 54.385071 -64.731952
    Unten rechts KachelX + 1 85338 KachelY + 1 96732 0.94924649 -1.12978570 54.387818 -64.731952
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12976524--1.12978570) × R
    2.04599999999999e-05 × 6371000     		dl = 130.350659999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12976524--1.12978570) × R
    2.04599999999999e-05 × 6371000     		dr = 130.350659999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.94919855-0.94924649) × cos(-1.12976524) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.426872115976693 × 6371000     		do = 130.377731907764m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.94919855-0.94924649) × cos(-1.12978570) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.426853613663791 × 6371000     		du = 130.372080825154m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12976524)-sin(-1.12978570))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.426872115976693-0.426853613663791)×R²
    abs(0.94924649-0.94919855)×1.85023129023465e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.85023129023465e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.85023129023465e-05×40589641000000     		ar = 16994.4550930542m²