Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8533 / 7887
↖ ↑ ↗
← N 79.481621°
W133.126831°		 ← 111.50 m → N 79.481621°
W133.121338°		 →
↑
111.56 m
↓
↑
111.56 m
↓
N 79.480618°
W133.126831°		 ← 111.51 m →
12 439 m²		 N 79.480618°
W133.121338°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8533 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7887 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.130210876464844 y=0.120353698730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.130210876464844 × 216)
    floor (0.130210876464844 × 65536)
    floor (8533.5)     		tx = 8533
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120353698730469 × 216)
    floor (0.120353698730469 × 65536)
    floor (7887.5)     		ty = 7887
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8533 / 7887 ti = "16/8533/7887"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8533/7887.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8533 ÷ 216
    8533 ÷ 65536     		x = 0.130203247070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7887 ÷ 216
    7887 ÷ 65536     		y = 0.120346069335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.130203247070312 × 2 - 1) × π
    -0.739593505859375 × 3.1415926535     		Λ = -2.32350152
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.120346069335938 × 2 - 1) × π
    0.759307861328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.38543599889323
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32350152} λ = -2.32350152}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38543599889323))-π/2
    2×atan(10.8637982365009)-π/2
    2×1.47900615168622-π/2
    2.95801230337245-1.57079632675     		φ = 1.38721598
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32350152} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.126831°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38721598 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.481621°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8533 KachelY 7887 -2.32350152 1.38721598 -133.126831 79.481621
    Oben rechts KachelX + 1 8534 KachelY 7887 -2.32340565 1.38721598 -133.121338 79.481621
    Unten links KachelX 8533 KachelY + 1 7888 -2.32350152 1.38719847 -133.126831 79.480618
    Unten rechts KachelX + 1 8534 KachelY + 1 7888 -2.32340565 1.38719847 -133.121338 79.480618
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38721598-1.38719847) × R
    1.75099999999428e-05 × 6371000     		dl = 111.556209999636m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38721598-1.38719847) × R
    1.75099999999428e-05 × 6371000     		dr = 111.556209999636m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32350152--2.32340565) × cos(1.38721598) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.182550920033859 × 6371000     		do = 111.499869358927m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32350152--2.32340565) × cos(1.38719847) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.182568135774842 × 6371000     		du = 111.510384522971m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38721598)-sin(1.38719847))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182550920033859-0.182568135774842)×R²
    abs(-2.32340565--2.32350152)×1.72157409835116e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.72157409835116e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.72157409835116e-05×40589641000000     		ar = 12439.0893571267m²