Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 85328 / 96720
↖ ↑ ↗
← S 64.717880°
E 54.360352°		 ← 130.41 m → S 64.717880°
E 54.363098°		 →
↑
130.41 m
↓
↑
130.41 m
↓
S 64.719053°
E 54.360352°		 ← 130.41 m →
17 007 m²		 S 64.719053°
E 54.363098°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 85328 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96720 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.651004791259766 y=0.737918853759766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.651004791259766 × 217)
    floor (0.651004791259766 × 131072)
    floor (85328.5)     		tx = 85328
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.737918853759766 × 217)
    floor (0.737918853759766 × 131072)
    floor (96720.5)     		ty = 96720
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 85328 / 96720 ti = "17/85328/96720"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/85328/96720.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 85328 ÷ 217
    85328 ÷ 131072     		x = 0.6510009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96720 ÷ 217
    96720 ÷ 131072     		y = 0.7379150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6510009765625 × 2 - 1) × π
    0.302001953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.94876712
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7379150390625 × 2 - 1) × π
    -0.475830078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.49486427775183
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.94876712} λ = 0.94876712}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49486427775183))-π/2
    2×atan(0.2242790423208)-π/2
    2×0.220628118589708-π/2
    0.441256237179417-1.57079632675     		φ = -1.12954009
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.94876712} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 54.360352°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12954009 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.717880°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 85328 KachelY 96720 0.94876712 -1.12954009 54.360352 -64.717880
    Oben rechts KachelX + 1 85329 KachelY 96720 0.94881505 -1.12954009 54.363098 -64.717880
    Unten links KachelX 85328 KachelY + 1 96721 0.94876712 -1.12956056 54.360352 -64.719053
    Unten rechts KachelX + 1 85329 KachelY + 1 96721 0.94881505 -1.12956056 54.363098 -64.719053
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12954009--1.12956056) × R
    2.04699999999391e-05 × 6371000     		dl = 130.414369999612m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12954009--1.12956056) × R
    2.04699999999391e-05 × 6371000     		dr = 130.414369999612m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.94876712-0.94881505) × cos(-1.12954009) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.427075711002566 × 6371000     		do = 130.412706075517m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.94876712-0.94881505) × cos(-1.12956056) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.42705720161426 × 6371000     		du = 130.40705401113m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12954009)-sin(-1.12956056))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.427075711002566-0.42705720161426)×R²
    abs(0.94881505-0.94876712)×1.85093883061649e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.85093883061649e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.85093883061649e-05×40589641000000     		ar = 17007.3223482295m²