Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8532 / 9046
↖ ↑ ↗
← S 18.437925°
E  7.470703°		 ← 2 317.80 m → S 18.437925°
E  7.492676°		 →
↑
2 317.71 m
↓
↑
2 317.71 m
↓
S 18.458768°
E  7.470703°		 ← 2 317.52 m →
5 371 646 m²		 S 18.458768°
E  7.492676°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8532 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9046 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520782470703125 y=0.552154541015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520782470703125 × 214)
    floor (0.520782470703125 × 16384)
    floor (8532.5)     		tx = 8532
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.552154541015625 × 214)
    floor (0.552154541015625 × 16384)
    floor (9046.5)     		ty = 9046
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8532 / 9046 ti = "14/8532/9046"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8532/9046.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8532 ÷ 214
    8532 ÷ 16384     		x = 0.520751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9046 ÷ 214
    9046 ÷ 16384     		y = 0.5521240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520751953125 × 2 - 1) × π
    0.04150390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.13038837
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5521240234375 × 2 - 1) × π
    -0.104248046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.327504898204224
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.13038837} λ = 0.13038837}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.327504898204224))-π/2
    2×atan(0.720719761034317)-π/2
    2×0.624496917183007-π/2
    1.24899383436601-1.57079632675     		φ = -0.32180249
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.13038837} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.470703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32180249 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.437925°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8532 KachelY 9046 0.13038837 -0.32180249 7.470703 -18.437925
    Oben rechts KachelX + 1 8533 KachelY 9046 0.13077186 -0.32180249 7.492676 -18.437925
    Unten links KachelX 8532 KachelY + 1 9047 0.13038837 -0.32216628 7.470703 -18.458768
    Unten rechts KachelX + 1 8533 KachelY + 1 9047 0.13077186 -0.32216628 7.492676 -18.458768
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32180249--0.32216628) × R
    0.00036379000000003 × 6371000     		dl = 2317.70609000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32180249--0.32216628) × R
    0.00036379000000003 × 6371000     		dr = 2317.70609000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.13038837-0.13077186) × cos(-0.32180249) × R
    0.000383489999999986 × 0.94866687329125 × 6371000     		do = 2317.79693560815m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.13038837-0.13077186) × cos(-0.32216628) × R
    0.000383489999999986 × 0.948551752096063 × 6371000     		du = 2317.51566980143m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32180249)-sin(-0.32216628))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94866687329125-0.948551752096063)×R²
    abs(0.13077186-0.13038837)×0.00011512119518664×R²
    0.000383489999999986×0.00011512119518664×6371000²
    0.000383489999999986×0.00011512119518664×40589641000000     		ar = 5371646.18654821m²