Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 85302 / 97116
↖ ↑ ↗
← S 65.178418°
E 54.288941°		 ← 128.19 m → S 65.178418°
E 54.291687°		 →
↑
128.25 m
↓
↑
128.25 m
↓
S 65.179572°
E 54.288941°		 ← 128.18 m →
16 440 m²		 S 65.179572°
E 54.291687°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 85302 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97116 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.650806427001953 y=0.740940093994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.650806427001953 × 217)
    floor (0.650806427001953 × 131072)
    floor (85302.5)     		tx = 85302
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740940093994141 × 217)
    floor (0.740940093994141 × 131072)
    floor (97116.5)     		ty = 97116
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 85302 / 97116 ti = "17/85302/97116"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/85302/97116.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 85302 ÷ 217
    85302 ÷ 131072     		x = 0.650802612304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97116 ÷ 217
    97116 ÷ 131072     		y = 0.740936279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.650802612304688 × 2 - 1) × π
    0.301605224609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.94752076
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740936279296875 × 2 - 1) × π
    -0.48187255859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.51384729000137
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.94752076} λ = 0.94752076}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51384729000137))-π/2
    2×atan(0.220061706030345)-π/2
    2×0.216609161549226-π/2
    0.433218323098451-1.57079632675     		φ = -1.13757800
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.94752076} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 54.288941°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13757800 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.178418°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 85302 KachelY 97116 0.94752076 -1.13757800 54.288941 -65.178418
    Oben rechts KachelX + 1 85303 KachelY 97116 0.94756869 -1.13757800 54.291687 -65.178418
    Unten links KachelX 85302 KachelY + 1 97117 0.94752076 -1.13759813 54.288941 -65.179572
    Unten rechts KachelX + 1 85303 KachelY + 1 97117 0.94756869 -1.13759813 54.291687 -65.179572
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13757800--1.13759813) × R
    2.01300000000071e-05 × 6371000     		dl = 128.248230000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13757800--1.13759813) × R
    2.01300000000071e-05 × 6371000     		dr = 128.248230000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.94752076-0.94756869) × cos(-1.13757800) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.419793987312739 × 6371000     		do = 128.189144147691m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.94752076-0.94756869) × cos(-1.13759813) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.419775716848799 × 6371000     		du = 128.183565041733m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13757800)-sin(-1.13759813))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419793987312739-0.419775716848799)×R²
    abs(0.94756869-0.94752076)×1.82704639400955e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.82704639400955e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.82704639400955e-05×40589641000000     		ar = 16439.6730875387m²