Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 85300 / 97092
↖ ↑ ↗
← S 65.150732°
E 54.283447°		 ← 128.35 m → S 65.150732°
E 54.286194°		 →
↑
128.38 m
↓
↑
128.38 m
↓
S 65.151886°
E 54.283447°		 ← 128.34 m →
16 477 m²		 S 65.151886°
E 54.286194°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 85300 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97092 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.650791168212891 y=0.740756988525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.650791168212891 × 217)
    floor (0.650791168212891 × 131072)
    floor (85300.5)     		tx = 85300
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740756988525391 × 217)
    floor (0.740756988525391 × 131072)
    floor (97092.5)     		ty = 97092
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 85300 / 97092 ti = "17/85300/97092"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/85300/97092.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 85300 ÷ 217
    85300 ÷ 131072     		x = 0.650787353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97092 ÷ 217
    97092 ÷ 131072     		y = 0.740753173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.650787353515625 × 2 - 1) × π
    0.30157470703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.94742488
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740753173828125 × 2 - 1) × π
    -0.48150634765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.51269680441049
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.94742488} λ = 0.94742488}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51269680441049))-π/2
    2×atan(0.220315029546823)-π/2
    2×0.216850771127449-π/2
    0.433701542254898-1.57079632675     		φ = -1.13709478
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.94742488} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 54.283447°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13709478 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.150732°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 85300 KachelY 97092 0.94742488 -1.13709478 54.283447 -65.150732
    Oben rechts KachelX + 1 85301 KachelY 97092 0.94747282 -1.13709478 54.286194 -65.150732
    Unten links KachelX 85300 KachelY + 1 97093 0.94742488 -1.13711493 54.283447 -65.151886
    Unten rechts KachelX + 1 85301 KachelY + 1 97093 0.94747282 -1.13711493 54.286194 -65.151886
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13709478--1.13711493) × R
    2.01500000001076e-05 × 6371000     		dl = 128.375650000685m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13709478--1.13711493) × R
    2.01500000001076e-05 × 6371000     		dr = 128.375650000685m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.94742488-0.94747282) × cos(-1.13709478) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.420232518139637 × 6371000     		do = 128.349827824778m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.94742488-0.94747282) × cos(-1.13711493) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.42021423361267 × 6371000     		du = 128.344243259598m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13709478)-sin(-1.13711493))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420232518139637-0.42021423361267)×R²
    abs(0.94747282-0.94742488)×1.8284526966672e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.8284526966672e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.8284526966672e-05×40589641000000     		ar = 16476.6341139429m²